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概率论与统计填空练习卷4

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、填空题（共 31 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 设

X

服从区间

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

上的均匀分布,

Y = \sin X

, 则

Cov (X, Y) =

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2. 设随机变量

X \sim N (μ, σ^{2})

, 且

P (X < - 1) = P (X \geq 3) = Φ (- 1)

, 其中

Φ (x)

为标准正态分布函数, 则

μ =

（　　） ,

σ =

（　　）

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3. 设随机变量

X

和

Y

相互独立,

X

服从参数为 1 的指数分布,

Y

的分布为

P (Y = 1) =

\frac{1}{4}, P (Y = 2) = \frac{3}{4}

, 则

P (1 ⩽ min {X, Y} < 2) =

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4. 设随机变量

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{9}

独立同分布, 其方差为

σ^{2} (σ > 0)

, 又设

U = \sum_{i = 1}^{7} X_{i}, V = \sum_{i = 3}^{9} X_{i}

, 则

U

与

V

的相关系数

ρ_{U V} =

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5. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X \sim B (N, p) (0 < p < 1)

的简单随机样本, 则

p

的最大似然估计量

\hat{p} =

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6. 已知某产品的生产函数为

Q = A K^{α} L^{β}

, 其中

Q

为产量,

K

表示资金,

L

表示劳力,

A, α, β

为正常数, 且

α + β = 1

, 则

K \frac{\partial Q}{\partial K} + L \frac{\partial Q}{\partial L} =

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7. 设二维总体

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = {\begin{cases} 2 θ^{- 2} e^{- \frac{x + y}{θ}}, & 0 < x < y < + \infty, \\ 0, & 其他 \end{cases}

(

X_{1}, Y_{1}), (X_{2}, Y_{2}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

为

(X, Y)

的一组简单随机样本, 则

θ

的最大似然估计量

\hat{θ} =

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8. 一个口袋中有 3 个白球、 5 个黑球, 每次从中取一球, 且取后放回, 重复抽取

n

次. 已知在取白球

k

次的条件下, 事件

B

发生的概率为

\frac{k}{n}

, 则

P (B) =

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9. 设随机变量序列

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}, \dots

相互独立, 且都服从

λ = \frac{1}{2}

的指数分布,

Φ (x)

是标准正态分布的分布函数, 则

lim_{n \to \infty} P {\sum_{i = 1}^{n} X_{i} ⩽ 2 n + 2 \sqrt{n}} =

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10. 设平面区域

G

是由直线

y = 0, x = e

以及曲线

y = \ln x

围成, 随机变量

(X, Y)

在区域

G

内服从均匀分布.
(I) 求条件密度函数

f_{X ∣ Y} (x ∣ y)

与

f_{Y ∣ X} (y ∣ x)

;
(II)

F (x, y)

是

(X, Y)

的分布函数,求

F (\frac{e}{2}, \ln \frac{e}{2})

;
(III) 设

(Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n})

是取自

Y

的样本,

S^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(Y_{i} - \bar{Y})}^{2}

为样本方差, 求

E (S^{2})

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11. 10 个球中只有一个红球, 有放回地抽取, 每次取一球, 直到第

n

次才取得

k

次

(k ⩽ n)

红球的概率为

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12. 设

(ξ, η)

的联合分布律如表所示, 则

(a, b) = ()

时,

ξ

与

η

相互独立。

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13. 设

x_{1}, \dots, x_{6}

为正态总体

N (0, 2^{2})

的一个样本, 则概率

P {\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} > 6.54}

为

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14. 样本容量为

n

时, 样本方差

s^{2}

是总体方差

σ^{2}

的无偏估计量, 这是因为

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15. 估计量的有效性是指

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16. 某人射击中靶的概率为

0.75

. 若射击直到中靶为止, 求射击次数为 3 的概率。

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17. 设随机变量

ξ

的概率密度为

f (x) = {\begin{array}{cc} k x^{b} & 0 < x < 1, (b > 0, k > 0) \\ 0 & 其他 \end{array}

且

P (ξ > \frac{1}{2}) = 0.75

, 则

K

和

b

分别为多少?

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18. 假设

X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}

是取自正态总体

N (0, 2^{2})

的一个样本, 令

K = {(a X_{1} - 2 X_{2})}^{2} + b {(3 X_{3} - 4 X_{4})}^{2}

, 则当

a = 1 / 20, b = 1 / 100

时, 统计量服从

χ^{2}

分布, 其自由度是多少?

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19. 某大学从来自

A, B

两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生, 测其身高 (单位:

cm

）后算得

\overset{―}{x} = 175.9, \overset{―}{y} = 172.0; s_{2}^{1} = 11.3, s_{2}^{2} = 9.1

。假设两市新生身高分别服从正态分布

X \sim N (μ_{1}, σ^{2}), Y \sim N (μ_{2}, σ^{2})

, 其中

σ^{2}

末知。试求

μ_{1} - μ_{2}

的置信度为

0.95

的置信区间。

(t_{0.025} (9) = 2.2622, t_{0.025} (11) = 2.2010)

。

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20.

P (A) = 0.4, P (B) = 0.3, P (A \cup B) = 0.4

, 则

P (A \bar{B}) =

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21. 设随机变量

X

有密度

f (x) = {\begin{array}{lr} 4 x^{3}, & 0 < x < 1 \\ 0 & 其它 \end{array}

, 则使

P (X > a) = P (X < a)

的常数

a =

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22. 设随机变量

X \sim N (2, σ^{2})

, 若

P {0 < X < 4} = 0.3

, 则

P {X < 0} =

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23. 设

f (x) = \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- x^{2} + 2 x - 1}

, 则

E X =

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24. 设总体

X \sim N (μ, 9)

, 已知样本容量为 25 , 样本均值

\bar{x} = m

; 记

u_{0.1} = a, u_{0.05} = b; t_{0.1} (24) = c, t_{0.1} (25) = d; t_{0.05} (24) = l, t_{0.05} (25) = k

,
则

μ

的置信度为

0.9

的置信区间为

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25. 设随机变量

X

和

Y

相互独立,

X \sim B (1, \frac{1}{2}), Y \sim P (1), Z = {\begin{cases} 0, X = 0, \\ Y, X = 1, \end{cases}

则

X

与

Z

的相关
系数为

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26. 已知

X

的密度函数为

f (x) = {\begin{matrix} 2 x, 0 < x < 1 \\ 0, 其他 \end{matrix}

, 若

P (X > c) = \frac{3}{4}

, 则

c =

（　　） ; 若

Y = min (X, 0.6)

, 则

P (Y = 0.6) =

（　　）

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27. 设

X, Y

是独立且均为参数

p

的

0 - 1

分布随机变量, 定义随机变量

Z = {\begin{cases} 0, X + Y = 1 \\ 1, X + Y \neq 1 \end{cases}

, 则

P (X = 0, Z = 0) = P (X = 1, Z = 1) =

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28. 某元件寿命

X

(单位: 小时) 服从

[100, 120]

上的均匀分布, 若选取

n

只独立元件寿命分别为

X_{1}, \dots, X_{n}

, 以

Y_{n}

表示

n

只元件中寿命超过 110 小时的元件数, 则

Y_{n}

服从分
布; 当

n \to + \infty

时, 由大数定理知,

\frac{Y_{n}}{n}

依概率收敛于 ;

n

足够大时, 由中心极限定理得

\sum_{i = 1}^{n} X_{i}

近似服从，而

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

近似服从

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29. 对一正态总体

X \sim N (μ, σ^{2}), μ, σ^{2}

均末知, 共测量 16 次, 得到样本均值为

\bar{x} = 10.6

和标准差为

s = 1.2

。设以下显著性水平均为

0.05

, 检验假设

H_{0} : μ = 10; H_{1} : μ \neq 10

, 是否拒绝

H_{0}

? 说明理由: ；检验假设

H_{0} : σ^{2} \geq 1; H_{1} : σ^{2} < 1

，是否拒绝

H_{0}

? 说明理由:

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30. 设随机变量

X

和

Y

相互独立,

X \sim B (1, \frac{1}{2}), Y \sim P (1), Z = {\begin{cases} 0, X = 0, \\ Y, X = 1, \end{cases}

则

X

与

Z

的相关
系数为

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31. 设

A, B

相互独立, 且

P (A \cup B) = 0.8, P (A) = 0.2

, 则

P (B) =

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