一、填空题 （共 30 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知一维随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a \mathrm{e}^{-(x-b)}, & x \geqslant b, \\ 0, & x < b,\end{array}\right.$, 其中 $a, b$ 均为常数, 若 $P\{-\ln 3 < X < \ln (3 a)\}=\frac{2}{3}$, 则 $a b=$
设非负连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x) \cdot \int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t=\sin ^6 x$, 则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值是
从编号为 1 到 9 的九张卡片中有放回地任取 5 张, 试用切比雪夫不等式估计所取号码之和在 15 和 35 之间的概率至少为
1. 设 $A 、 B 、 C$ 表示 3 个随机事件, 试将下列事件用 $A 、 B 、 C$ 表示出来:
(1) $A 、 C$ 出现, $B$ 不出现;
(2) 恰好有 2 个事件出现;
(3) 3 个事件中至少有 2 个出现;
(4) 3 个事件中不多于 1 个出现.
在某系中任选一个学生, 令事件 $A$ 表示被选学生是男生, 事件 $B$ 表示该学生是三年级学生, 事件 $C$ 表示该学生是优秀生. 试用 $A 、 B 、 C$ 表示下列事件:
(1) 选到三年级的优秀男生;
（2）选到非三年级的优秀女生;
(3) 选到的男生但不是优秀生;
（4）选到三年级男生或优秀女生.
写出 $n$ 个人组成的班级的一次某学科测验的平均成绩的样本空间。
某市发行 $A 、 B 、 C$ 三种报纸. 在该市的居民中, 订阅 $A$ 报的占 $45 \%$,订阅 $B$ 报的占 $35 \%$, 订阅 $C$ 报的占 $30 \%$, 同时订阅 $A$ 报及 $B$ 报的占 $10 \%$, 同时订阅 $A$ 报及 $C$ 报的占 $8 \%$, 同时订阅 $B$ 报及 $C$ 报的占 $5 \%$, 同时订阅 $A 、 B 、 C$ 报的占 $3 \%$, 求下列事件的概率:
(1) 只订阅 $A$ 报的;
(2) 只订阅 $A$ 报及 $B$ 报的;
(3) 只订阅一种报纸的;
(4) 正好订阅两种报纸的;
(5) 至少订阅一种报纸的;
(6) 不订阅任何报纸的.
掷两粒骰子, 出现的点数之和小于 5 或是偶数的概率是多少?
袋中有 4 粒黑球, 1 粒白球, 每次从中任取一粒, 并换入一粒黑球, 这样连续进行下去, 求第三次取到黑球的概率。
任取一个正整数, 该数的平方的末尾数是 1 的概率是多少?
有 10 本不同的数学书, 5 本不同的外文书, 任意地摆放在书架上, 求 5 本不同的外文书放在一起的概率.
从 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 这九个数字中任取三个数, 求
(1) 三个数之和为 10 的概率;
(2) 三个数之积为 21 的倍数的概率.
$n$ 个人围着圆桌随机而坐, 那么其中甲、乙两人坐在一起的概率是多少?
甲、乙两人投郑均匀硬币, 甲投掷 $n+1$ 次, 乙投郑 $n$ 次, 那么甲投郑出的正面次数大于乙投掷出的正面次数的概率是多少?
随机地向圆 $x^2+y^2-2 a x=0(a>0)$ 的上半部分内投矨一点, 假设点等可能地落在半圆内任何地方, 那么原点与该点的连线的夹角小于 $\frac{\pi}{4}$ 的概率是多少
设 $A, B$ 是两个事件, 且 $P(A)=0.6, P(B)=0.7$. 问：
(1) 在什么条件下 $P(A B)$ 取到最大值, 最大值是多少?
(2) 在什么条件下 $P(A B)$ 取到最小值, 最小值是多少?
袋中有 5 把钥匙, 只有一把能打开门, 从中任取一把去开门, 求在 (1)有放回; (2) 无放回的两种情况下, 第三次能够打开门的概率。
某种动物由出生活到 20 岁的概率为 0.8 , 活到 25 岁的概率为 0.4 . 问现年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率是多少?
经统计, 某城市肥胖者占 $10 \%$, 中等体型人数占 $82 \%$, 消瘦者占 $8 \%$. 已知肥胖者患高血压的概率为 0.2 , 中等体型者患高血压的概率为 0.1 , 消瘦者患高血压的概率为 0.05 , 求:
(1) 该城市居民患高血压的概率是多少?
(2) 若已知有一个居民患有高血压, 那么该居民最有可能是哪种体型的人?
将 $m$ 个红球与 $n(n \geq m)$ 个白球任意排成一排, 那么至少有两个红球挨着的概率是多少
设袋中有 5 个白球和 3 个黑球, 从中每次无放回地任取一球, 共取 2 次, 求;
(1) 取到的 2 个球颜色相同的概率;
(2) 第二次才取到黑球的概率;
(3) 第二次取到黑球的概率.
为了提高抗菌素生产的产量和质量, 需要对生产菌种进行诱变处理, 然后从一大批经过处理的变异菌株中抽取一小部分来培养、测定, 从中找出优良的菌株. 如果某菌种的优良变异率为 0.03 , 试问从一大批经诱变处理的菌株中, 采取多少只来培养、测定, 才能以 $95 \%$ 的把握从中至少可以选到一只优良菌株?
对某目标进行三次射击, 各次的命中率分别为 $0.2,0.6,0.3$, 计算:
（1）在三次射击中恰好击中一次的概率;
（2）在三次射击中至少击中一次的概率。
已知随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, 则 $E\left[1+(-1)^x\right]=$
设随机变量 $X$ 的概率分布满足 $3 P\{X=k+1\}=P\{X=k\}, k=1,2,3, \cdots$, 则 $P\{X>5 \mid X \geqslant 3\}=$
将编号为 $1,2,3$ 的三个球随机放入编号为 $1,2,3$ 的三个盒子中，每盒仅放一个球，令
$$
X_i=\left\{\begin{array}{ll}
1, & \text { 第 } i \text { 号球放第 } i \text { 号盒中, } \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}(i=1,2),\right.
$$
则 $\rho_{X_1 X_2}=$
设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为 0.05 . 现在对 100 个这样的元件进行超负荷试验, 以 $X$ 表示 “不能承受试验而烧毁的元件数” , 则根据中心极限定理, $P\{5 \leqslant X \leqslant 10\} $ $(\Phi(2.29)=0.989)$
将一枚骰子重复掷 $n$ 次, 则当 $n \rightarrow \infty$ 时, $n$ 次掷出点数的算术平均值 $\bar{X}_n$ 依概率收敛于
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-x \mid}(-\infty < x < +\infty), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 其样本方差为 $S^2$, 则 $E\left(S^2\right)=$
设 $A, B, C$ 为三个事件, 用 $A, B, C$ 的运算关系表示下列各事件:
(1) $A$ 发生, $B$ 与 $C$ 不发生.
(2) $A$ 与 $B$ 都发生,而 $C$ 不发生.
(3) $A, B, C$ 中至少有一个发生.
(4) $A, B, C$ 都发生.
(5) $A, B, C$ 都不发生.
(6) $A, B, C$ 中不多于一个发生.
(7) $A, B, C$ 中不多于两个发生.
(8) $A, B, C$ 中至少有两个发生.