题号:2792    题型:填空题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学三卷)
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 独立同分布, 其方差为 $\sigma^2(\sigma > 0)$, 又设 $U=\sum_{i=1}^7 X_i, V=\sum_{i=3}^9 X_i$, 则 $U$ 与 $V$ 的相关系数 $\rho_{U V}=$
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 3 次查看 我来讲解
答案:
$\frac{5}{7}$

解析:

因为 $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 独立同分布, 所以
$$
D(U)=\sum_{i=1}^7 D\left(X_i\right)=7 \sigma^2, D(V)=\sum_{i=3}^9 D\left(X_i\right)=7 \sigma^{\circ} .
$$
记 $S=X_1+X_2, Y=\sum_{k=1}^7 X_k, Z=X_8+X_9$, 则 $U=S+Y, V=Y+Z$, 且 $D(Y)=5 \sigma^2$, 所以
$$
\operatorname{Cov}(U, V)=\operatorname{Cov}(S, Y)+\operatorname{Cov}(S, Z)+D(Y)+\operatorname{Cov}(Y, Z)=5 \sigma^2 \text {. }
$$
因此
$$
\rho_{v V}=\frac{\operatorname{Cov}(U, V)}{\sqrt{D(U)} \sqrt{D(V)}}=\frac{5 \sigma^2}{\sqrt{7 \sigma^2} \sqrt{7 \sigma^2}}=\frac{5}{7} .
$$
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭