设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立, $X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y \sim P(1), Z=\left\{\begin{array}{l}0, X=0, \\ Y, X=1,\end{array}\right.$ 则 $X$ 与 $Z$ 的相关
系数为
【答案】 $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

【解析】 由 $X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ 得 $E(X)=\frac{1}{2}, D(X)=\frac{1}{4} . Z$ 的分布律为
$$
\begin{aligned}
P\{Z=k\} & =P\{X=0\} P\{Z=k \mid X=0\}+P\{X=1\} P\{Z=k \mid X=1\} \\
& =\frac{1}{2} P\{0=k \mid X=0\}+\frac{1}{2} P\{Y=k \mid X=1\} \\
& =\frac{1}{2} P\{0=k\}+\frac{1}{2} P\{Y=k\}, k=0,1,2, \cdots .
\end{aligned}
$$
由此计算得 $E(Z)=\frac{1}{2}, E\left(Z^2\right)=1$, 得 $D(Z)=\frac{3}{4}$. 因为 $X Z=Z$, 所以 $E(X Z)=\frac{1}{2}$.
因此 $X$ 和 $Z$ 的相关系数为 $\frac{\operatorname{Cov}(X, Z)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Z)}}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}} \sqrt{\frac{3}{4}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
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