假设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是取 自正态总体 $N\left(0,2^2\right)$ 的一个样本, 令 $K=\left(a X_1-2 X_2\right)^2+b\left(3 X_3-4 X_4\right)^2$, 则当 $a=1 / 20, b=1 / 100$ 时, 统计量服从 $\chi^2$ 分 布, 其自由度是多少?
【答案】 $$
X_1-2 X_2 \sim \mathrm{N}\left(0,2^2+4 \times 2^2\right)=\mathrm{N}(0,20) \text {, 则 } Z_1=\frac{\left(X_1-2 X_2\right)^2-0}{\sqrt{20}} \sim \mathrm{N}(0,1) \text { 。 }
$$
$$
\begin{aligned}
&3 X_1-4 X_2 \sim \mathrm{N}\left(0,9 \times 2^2+16 \times 2^2\right)=\mathrm{N}(0,100) \text {, 则 } Z_2=\frac{\left(3 X_3-4 X_4\right)^2}{\sqrt{100}} \sim \mathrm{N}(0,1) \text { 。 } \\
&\mathrm{Z}=\mathrm{Z}_1{ }^2+Z_2^2 \sim \chi^2(2)
\end{aligned}
$$
所以 $a=1 / 20 , b=1 / 100$ 时, 自由度为 2 。


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