设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 相互独立, 且都服从 $\lambda=\frac{1}{2}$ 的指数分布, $\Phi(x)$ 是标准正态 分布的分布函数, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\sum_{i=1}^n X_i \leqslant 2 n+2 \sqrt{n}\right\}=$
【答案】 $\Phi(1)$.

【解析】 由 $E\left(X_i\right)=2, D\left(X_i\right)=4 \Rightarrow E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=2 n, D\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=4 n$, 则
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\begin{aligned}
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\sum_{i=1}^n X_i \leqslant 2 n+2 \sqrt{n}\right\} &=\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\sum_{i=1}^n X_i-2 n \leqslant 2 \sqrt{n}\right\} \\
&=\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-2 n}{\sqrt{4 n}} \leqslant \frac{2 \sqrt{n}}{\sqrt{4 n}}\right\}
\end{aligned}
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