【ID】2973 【题型】填空题 【类型】模拟考试 【来源】李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学一)
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X \sim B(N, p)(0 < p < 1)$ 的简单随机样本, 则 $p$ 的最大似然估计量 $\hat{p}=$
答案:
$\frac{\bar{X}}{N}$

解析:

解 似然函数 $L(p)=\prod_{i=1}^n C_N^{x_i} \cdot p^{x_i} \cdot(1-p)^{N-x_i}$,两边取对数, 得
$$
\ln L(p)=\sum_{i=1}^n \ln C_N^{x_j}+\sum_{i=1}^n x_i \ln p+\sum_{i=1}^n\left(N-x_i\right) \ln (1-p) .
$$
令 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} p} \ln L(p)=\frac{1}{p} \sum_{i=1}^n x_i-\frac{1}{1-p}\left(n N-\sum_{i=1}^n x_i\right)=0$, 解得 $p=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n N}=\frac{\bar{x}}{N}$, 故 $p$ 的最 大似然估计量为 $\hat{p}=\frac{\bar{X}}{N}$, 其中 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$.

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