一、解答题 （ 共 16 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
盒内有 12 个乒乓球, 其中 9 个是新球, 3 个是旧球。采取不放回抽取, 每次取一个, 直到取到新球为止。求抽取次数 $X$ 的概率分布。
车间中有 6 名工人在各自独立的工作, 已知每个人在 1 小时内有 12 分钟需用小吊车。
求 (1) 在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少?
（2）若车间中仅有 2 台小吊车, 则因小吊车不够而聶误工作的概率是多少?
某种电子元件的寿命 $X$ 是随机变量, 其概率密度为
$$
p(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{C}{x^2} & x \geq 100 \\
0 & x < 100
\end{array}\right.
$$
求 (1) 常数 $C$;
(2) 若将 3 个这种元件串联在一条线路上, 试计算该线路使用 150 小时后仍能正常工作的概率。
某种电池的寿命（单位: 小时）是一个随机变量 $X$, 且 $X \sim N\left(300,35^2\right)$ 。
求（1）这样的电池寿命在 250 小时以上的概率;
（2） 求$a$ 使电池寿命在 $(300-a, 300+a)$ 内的概率不小于 0.9 。
设随机变量 $X \sim U\left[\begin{array}{ll}1, & 2\end{array}\right]$ 。
求 $Y=e^{2 X}$ 概率密度 $p_Y(y)$ 。
若随机变量 $X$ 服从泊松分布, 即 $X \sim P(\lambda)$, 且知 $E X^2=2$ 。求 $P\{X \geq 4\}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
p(x)=\frac{1}{2} e^{-|x|}(-\infty < x < +\infty)
$$
求 $E X$ 和 $D X$ 。
一汽车沿一街道行使, 需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立, 求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以 $X$ 表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。
求 (1) $X$ 的概率分布;
(2)
$$
E\left(\frac{1}{1+X}\right)
$$
设随机变量 $X$ 服从参数为 2 的指数分布。
证明: $\bar{Y}=1-e^{-2 X}$ 在区间 $(0,1)$ 上, 服从均匀分布。
已知 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 容量为 $n(n>1)$ 的简单随机样本, 样本均值与方差分别为 $\bar{X}, S^2$. 记 $\hat{\sigma}^2=(n-1) \bar{X}^2+\frac{1}{n} S^2$, 试求统计量 $\hat{\sigma}^2$ 的期望 $E \hat{\sigma}^2$ 与方差 $D \hat{\sigma}^2$.
设区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant \sqrt{y}, 0 \leqslant y \leqslant 1\}$, 二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}6 x y, & (x, y) \in D, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
(I) 判断 $X, Y$ 是否相互独立;
(II) 求 $Z=\sqrt{X^2+Y}$ 的分布函数.
设总体 $(X, Y)$ 的分布函数为
$$
F(x, y)= \begin{cases}0, & x < 0 \text { 或 } y < \theta, \\ p\left[1-\mathrm{e}^{-(y-\theta)}\right], & 0 \leqslant x < 1, y \geqslant \theta, \\ 1-\mathrm{e}^{-(y-\theta)}, & x \geqslant 1, y \geqslant \theta .\end{cases}
$$
其中 $p, \theta$ 为末知参数, 且 $0 < p < 1$.
(I) 求 $X$ 的概率分布和 $Y$ 的概率密度, 并判别 $X$ 和 $Y$ 的独立性;
(II) 求 $Z=X+Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$.
设某产品的质量指标 $X \sim N(10,4)$, 其中当 $6 < X < 14$ 时是合格品, 当 $8 < X < 12$时是一等品。(1) 从中任取一个产品, 求是一等品的概率; (2) 如果从中任取一个产品发现是合格品, 求它是一等品的概率。
随机变量 $X$ 有密度函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{3}{2} x^2, & -1 < x < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}, Y=|X|\right.$, 求 $Y$ 的密度函数。
甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮, 甲、乙击中飞机的概率分别为 0.3 和 0.4 , 则飞机至少被击中一炮的概率为?
设随机变量 $A$ 为 $x \in(-5,7)$ 上的均匀分布, 则关于 $x$ 的方程 $9 x^2+6 A x+A+6=0$ 有实根的概率为?