设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n > 1)$ 是来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 其中 $\mu$ 末知, $\bar{X}$ 是 样本均值, 则以下四个选项中期望是 $\sigma^2$ 的统计量的是
$ \text{A.} $ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ $ \text{B.} $ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$ $ \text{C.} $ $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_i\right)^2$ $ \text{D.} $ $\frac{1}{2(n-1)} \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_i\right)^2$
【答案】 D

【解析】 【解】 $E\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right]=\frac{n-1}{n} \sigma^2, \mathrm{~A}$ 不是正确选项;
$E\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2\right]=\sigma^2$, 但是统计量不能含有末知参数, B 不是正确选项;
由于 $X_{i+1}-X_i \sim N\left(0,2 \sigma^2\right), \frac{X_{i+1}-X_i}{\sqrt{2} \sigma} \sim N(0,1),\left(\frac{X_{i+1}-X_i}{\sqrt{2} \sigma}\right)^2 \sim \chi^2(1), E\left(\frac{X_{i+1}-X_i}{\sqrt{2} \sigma}\right)^2=1$,

$$
E\left(X_{i+1}-X_i\right)^2=2 \sigma^2, E\left[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_i\right)^2\right]=2 \sigma^2 .
$$
或者
$$
\begin{aligned}
E\left[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_i\right)^2\right] & =\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1} E\left(X_{i+1}-X_i\right)^2 \\
& =\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1} E\left(X_{i+1}^2-2 X_{i+1} X_i+X_i^2\right)=2 \sigma^2,
\end{aligned}
$$
$\mathrm{C}$ 也不是正确选项. 选 D.
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