一、单选题 （共 11 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $n$ 个随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立同分布，
$D X_1=\sigma^2, \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ ，则
$\text{A.}$ $S$ 是 $\sigma$ 的无偏估计量
$\text{B.}$ $S$ 是 $\sigma$ 的最大似然估计量
$\text{C.}$ $S$ 是 $\sigma$ 的相合估计量(即一致估计量)
$\text{D.}$ $S$ 与 $\bar{X}$ 相互独立
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 是样本均值，记
$$
\begin{aligned}
& S_1^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, S_2^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2 \\
& S_3^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2, S_4^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2
\end{aligned}
$$
则服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的随机变量是
$\text{A.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_1 / \sqrt{n-1}}$
$\text{B.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_2 / \sqrt{n-1}}$
$\text{C.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_3 / \sqrt{n}}$
$\text{D.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_4 / \sqrt{n}}$
设两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立同分布，且
$$
\begin{gathered}
P\{X=-1\}=P\{Y=-1\}=\frac{1}{2}, \\
P\{X=1\}=P\{Y=1\}=\frac{1}{2},
\end{gathered}
$$
则下列各式中成立的是
$\text{A.}$ $P\{X=Y\}=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $P\{X=Y\}=1$
$\text{C.}$ $P\{X+Y=0\}=\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $P\{X Y=1\}=\frac{1}{4}$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从标准正态分布，则
$\text{A.}$ ${X}+{Y}$ 服从正态分布
$\text{B.}$ $X^2+Y^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $X^2$ 和 $Y^2$ 都服从 $\chi^2$ 分布
$\text{D.}$ $X^2 / Y^2$ 服从 $F$ 分布
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立，
$$
S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n
$$
则根据列维一林德柏格中心极限定理，当 $n$ 充分大时， $S_n$ 近似服从正态分布, 只要 $X_1, X_2, \cdots, X_n$
$\text{A.}$ 有相同的数学期望
$\text{B.}$ 有相同的方差
$\text{C.}$ 服从同一指数分布
$\text{D.}$ 服从同一离散型分布
设随机变量 $X \sim t(n)(n>1), Y=\frac{1}{X^2}$ ，则
$\text{A.}$ $Y \sim \chi^2(n)$
$\text{B.}$ $Y \sim \chi^2(n-1)$
$\text{C.}$ $Y \sim \boldsymbol{F}(n, 1)$
$\text{D.}$ $Y \sim F(1, n)$
设一批零件的长度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu, \sigma^2$ 均未知. 现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 $\overline{\boldsymbol{x}}=\mathbf{2 0}(\mathrm{cm})$ ，样本标准差 $s=1(\mathrm{~cm})$ ，则 $\mu$ 的置信度为 0.90 的置信区间是
$\text{A.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(16), 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(16)\right)$
$\text{B.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(16), 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(16)\right)$
$\text{C.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(15), 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(15)\right)$
$\text{D.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(15), 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(15)\right)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n \cdots$ 为独立同分布的随机变量，且均服从参数为 $\lambda(\lambda>1)$ 的指数分布，记 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \lambda}{\lambda \sqrt{n}} \leq x\right\}=\Phi(x)$
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \lambda}{\sqrt{n \lambda}} \leq x\right\}=\Phi(x)$
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\lambda \sum_{i=1}^n X_i-n}{\sqrt{n}} \leq x\right\}=\Phi(x)$
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-\lambda}{\sqrt{n \lambda}} \leq x\right\}=\Phi(x)$
设随机变量 $X, Y$ 独立同分布，且 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则 $Z=\max \{X, Y\}$ 的分布函数为
$\text{A.}$ $F^2(x)$
$\text{B.}$ $F(x) F(y)$
$\text{C.}$ $1-[1-F(x)]^2$
$\text{D.}$ $[1-F(x)][1-F(y)]$
随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(1,4)$ ，且相关系数 $\rho_{X Y}=1$ ，则
$\text{A.}$ $P\{Y=-2 X-1\}=1$
$\text{B.}$ $P\{Y=2 X-1\}=1$
$\text{C.}$ $P\{Y=-2 X+1\}=1$
$\text{D.}$ $P\{Y=2 X+1\}=1$
设随机变量 $X, Y$ 独立同分布，且 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则 $Z=\max \{X, Y\}$ 的分布函数为
$\text{A.}$ $F^2(x)$
$\text{B.}$ $F(x) F(y)$
$\text{C.}$ $1-[1-F(x)]^2$
$\text{D.}$ $[1-F(x)][1-F(y)]$
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设随机变量 $X$ 的数学期望 $E X=\mu$ ，方差 $D X=\sigma^2$ ，则由切比雪夫不等式有 $P\{|X-\mu| \geq 3 \sigma\} \leq$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $N\left(0,3^2\right)$ ，而 $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 和 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_9$ 分别是来自总体$X$和 $Y$ 的简单随机样本，则统计量
$$
U=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_9}{\sqrt{Y_1^2+\cdots+Y_9^2}}
$$
服从 $\qquad$分布; 参数为 $\qquad$
在天平上重复称量一重为 $a$ 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布 $N\left(a, 0.2^2\right)$ ，若以 $\overline{X_n}$ 表示 $n$ 次称量结果的算术平均值，则为使
$$
P\left\{\left|\overline{X_n}-a\right| < 0.1\right\} \geq 0.95 ，
$$
则 $n$ 的最小值应不小于自然数
设随机变量 $X_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n ; n \geq 2)$ 独立同分布，
$\boldsymbol{E} \boldsymbol{X}_{i j}=\mathbf{2}$ ，则行列式 $\boldsymbol{Y}=\left|\begin{array}{llll}\boldsymbol{X}_{11} & \boldsymbol{X}_{12} & \cdots & \boldsymbol{X}_{1 n} \\ \boldsymbol{X}_{21} & \boldsymbol{X}_{22} & \cdots & \boldsymbol{X}_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \boldsymbol{X}_{n 1} & \boldsymbol{X}_{n 2} & \cdots & \boldsymbol{X}_{n n}\end{array}\right|$ 的数学期望 $\boldsymbol{E} \boldsymbol{Y}=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的方差是 2 ，则根据切比雪夫不等式有估计
$$
P\{|X-E(X)| \geq 2\} \leq
$$
设随机变量 $X, Y$ 的数学期望都是 2 ，方差分别为 1 和 4 ，而相关系数为 0.5 . 则根据切比雪夫不等式
$$
P\{|X-Y| \geq 6\} \leq
$$
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-(x-\theta)}, & x \geq \theta \\ 0, & x < \theta\end{array}\right.$ ，而 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则未知参数 $\theta$ 的矩估计量为 $\qquad$
已知一批零件的长度 $X$ (单位:cm)服从正态分布 $N(\mu, 1)$ ，从中随机地抽取 16 个零件，得到长度的平均值为 $40(\mathrm{~cm})$ ，则 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间是 $\qquad$ (注: 标准正态分布函数值 $\Phi(1.96)=0.975, \Phi(1.645)=0.95)$
设总体 $X$ 服从参数为 2 的指数分布， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，则当 $n \rightarrow \infty$ 时，
$$
Y_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2
$$
依概率收敛于
设 $X_1, X_3, \cdots, X_m$ 为来自二项分布总体 $B(n, p)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差. 若 $\bar{X}+k S^2$为 $n p^2$ 的无偏估计量，则 $k=$
三、解答题 （ 共 19 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设随机变量 $X$ 的概率分布密度为 $f(x)=\frac{1}{2} e^{-|x|},-\infty < x < +\infty$.
(1) 求 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$.
(2) 求 $X$ 与 $|X|$ 的协方差, 并问 $X$ 与 $|X|$ 是否不相关?
(3) 问 $X$ 与 $|X|$ 是否相互独立? 为什么?
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
p(x, \lambda)=\left\{\begin{array}{cc}
\lambda a x^{a-1} e^{-\lambda x^a} & x>0 \\
0 & x \leq 0
\end{array}\right.
$$
其中 $\lambda>0$ 中是未知参数， $a>0$ 是已知常数. 试根据来自总体 $X$ 的简单随机样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ ，求 $\lambda$ 的最大似然估计量 $\hat{\boldsymbol{\lambda}}$.
假设随机变量 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 相互独立，且同分布 $P\left\{X_i=0\right\}=0.6, P\left\{X_i=1\right\}=0.4(i=1,2,3,4)$
求行列式 $X=\left|\begin{array}{ll}X_1 & X_2 \\ X_3 & X_4\end{array}\right|$ 的概率分布.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本， $E X^k=\alpha_k(k=1,2,3,4)$ ，求证: 当 $n$ 充分大时，随机变量 $z_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 近似服从正态分布，并求出其分布参数.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
(\theta+1) x^\theta & 0 < x < 1 \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta>-1$ 是未知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体的一个容量为 $n$ 的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求 $\theta$ 的估计量.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{6 x}{\theta^3}(\theta-x), & 0 < x < \theta \\
0, & \text { 其 他 }
\end{array}\right.
$$
$X_1, X_2, \cdots X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1) 求 $\boldsymbol{\theta}$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$;
(2) 求 $\hat{\theta}$ 的方差 $D(\hat{\theta})$.
设某种元件的使用寿命 $X$ 的概率密度为
$$
f(x, \theta)= \begin{cases}2 e^{-2(x-\theta)}, & x>\theta \\ 0, & x \leq \theta\end{cases}
$$
其中 $\theta>0$ 为未知参数. 又设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是 $X$ 的一组样本观测值，求参数 $\theta$ 的最大似然估计.
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ ，从该总体中抽取简单随机样本 $X_1, X_2, \cdots, X_{2 n}(n \geq 2)$ ，其样本均值为 $\bar{X}=\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{2 n} X_i$ ，求统计量 $Y=\sum_{i=1}^n\left(X_i+X_{n+i}-2 \bar{X}\right)^2$的数学期望 $E(Y)$.
生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的. 假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克. 若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 $0.977 .(\Phi(2)=0.977$ ，其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布函数).
设总体 $X$ 的概率分布为:
中 $\theta\left(0 < \theta < \frac{1}{2}\right)$ 是未知参数，利用总体 $X$ 的如下样本值 $3,1,3,0,3,1,2,3$ ，求 $\theta$ 的矩估计值和最大似然估计值
设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x, \beta)=\left\{\begin{array}{cc}1-\frac{1}{x^\beta}, & x>1 \\ 0, & x \leq 1\end{array}\right.$ ，其中未知参数 $\beta>1, X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，求: (I) $\beta$ 的矩估计量； () $\beta$ 的最大似然估计量.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>2)$ 为来自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，记 $Y_i=X_i-\bar{X}, i=1,2, \cdots, n$. 求:
(1) $Y_i$ 的方差 $D Y_i, i=1,2, \cdots, n$ ；
(2) $Y_1$ 与 $Y_n$ 的协方差 $\operatorname{Cov}\left(Y_1, Y_n\right)$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>2)$ 为来自总体 $\mathrm{N}\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，记 $Y_i=X_i-\bar{X}, i=1,2, \cdots, n$. 求:
( I ) $Y_i$ 的方差 $D Y_i, i=1,2, \cdots, n$ ；
(II) $Y_1$ 与 $Y_n$ 的协方差 $\operatorname{Cov}\left(Y_1, Y_n\right)$.
(II) 若 $c\left(Y_1+Y_n\right)^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量，求常数 $c$.
(IV) 当 $\sigma=1$ ，求 $P\left\{Y_1+Y_n \leq 0\right\}$.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{lc}
\theta, & 0 < x < 1 \\
1-\theta, 1 \leq x < 2 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta$ 是未知参数 $(0 < \theta < 1) ， X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，记 $N$ 为样本值 $x_1, x_2 \ldots, x_n$ 中小于 1 的个数，求 $\theta$ 的最大似然估计.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{lc}
\theta, & 0 < x < 1 \\
1-\theta, 1 \leq x < 2 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta$ 是未知参数 $(0 < \theta < 1) ， X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，记 $N$ 为样本值 $x_1, x_2 \ldots, x_n$ 中小于 1 的个数，求:
(1) $\boldsymbol{\theta}$ 的矩估计；
(2) $\theta$ 的最大似然估计.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{1}{2 \theta}, & 0 < x < \theta \\ \frac{1}{2(1-\theta)}, & \theta \leq x < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
其中参数 $\theta(0 < \theta < 1)$ 未知， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$的简单随机样本， $\bar{X}$ 是样本均值.
(1) 求参数 $\boldsymbol{\theta}$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$;
(2) 判断 $4 \bar{X}^2$ 是否为 $\theta^2$ 的无偏估计量，并说明理由.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{1}{2 \theta}, & 0 < x < \theta \\ \frac{1}{2(1-\theta)}, & \theta \leq x < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
其中参数 $\theta(0 < \theta < 1)$ 未知， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$的简单随机样本， $\bar{X}$ 是样本均值.
(I) 求参数 $\boldsymbol{\theta}$ 的矩估计量 $\hat{\boldsymbol{\theta}}$ ；
() 判断 $4 \bar{X}^2$ 是否为 $\theta^2$ 的无偏估计量，并说明理由
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\lambda^2 x e^{-\lambda x} & , x>0 \\ 0 & , \text { 其他 }\end{cases}
$$
其中参数 $\lambda(\lambda>0)$ 未知， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本.
（1）求参数 $\boldsymbol{\lambda}$ 的矩估计量；
(2) 求参数 $\boldsymbol{\lambda}$ 的最大似然估计量.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自正态总体 $N\left(\mu_0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，其中 $\mu_0$ 已知， $\sigma^2>0$ 未知. $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别表示样本均值和样本方差.
(1) 求参数 $\sigma^2$ 的最大似然估计量 $\hat{\sigma}^2$;
(2) 计算 $E\left(\hat{\sigma}^2\right)$ 和 $D\left(\hat{\sigma}^2\right)$.