一、单选题 （共 12 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设随机变量 $X$ 的密度函数为 $\varphi(x)$ ，且 $\varphi(-x)=\varphi(x)$, $F(x)$ 是 $X$ 的分布函数，则对任意实数 $a$ ，有
$\text{A.}$ $F(-a)=1-\int_0^a \varphi(x) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $F(-a)=\frac{1}{2}-\int_0^a \varphi(x) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $F(-a)=F(a)$
$\text{D.}$ $F(-a)=2 F(a)-1$
设 $F_1(x)$ 与 $F_2(x)$ 分别为随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的分布函数，为使 $F(x)=a F_1(x)-b F_2(x)$ 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取
$\text{A.}$ $a=\frac{3}{5}, b=-\frac{2}{5}$
$\text{B.}$ $a=\frac{2}{3}, b=\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{2}$
设 $X$ 服从指数分布，则 $Y=\min \{X, 2\}$ 的分布函数
$\text{A.}$ 是连续函数
$\text{B.}$ 至少有两个间断点
$\text{C.}$ 是阶梯函数
$\text{D.}$ 恰有一个间断点
设 $X_1$ 和 $X_2$ 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ ，分布函数分别为 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ ，则
$\text{A.}$ $f_1(x)+f_2(x)$ 必为某一随机变量的概率密度
$\text{B.}$ $f_1(x) f_2(x)$ 必为某一随机变量的概率密度
$\text{C.}$ $F_1(x)+F_2(x)$ 必为某一随机变量的分布函数
$\text{D.}$ $F_1(x) F_2(x)$ 必为某一随机变量的分布函数
某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 $p(0 < p < 1)$, 则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为
$\text{A.}$ $3 p(1-p)^2$
$\text{B.}$ $6 p(1-p)^2$
$\text{C.}$ $3 p^2(1-p)^2$
$\text{D.}$ $6 p^2(1-p)^2$
某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为
$\text{A.}$ $3 p(1-p)^2$
$\text{B.}$ $6 p(1-p)^2$
$\text{C.}$ $3 p^2(1-p)^2$
$\text{D.}$ $6 p^2(1-p)^2$
设事件 $\boldsymbol{A}$ 与事件 $\boldsymbol{B}$ 互不相容，则
$\text{A.}$ $P(\bar{A} \bar{B})=0$
$\text{B.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
$\text{C.}$ $P(A)=1-P(B)$
$\text{D.}$ $P(\bar{A} \cup \bar{B})=1$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $Y$ 相互独立，且 $\boldsymbol{X}$ 服从标准正态分布 $N(0,1) ， Y$ 的概率分布为
$$
P\{Y=0\}=P\{Y=1\}=\frac{1}{2} .
$$
记 $F_z(z)$ 为随机变量 $Z=X Y$ 的分布函数，则函数 $F_z(z)$ 的间断点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数
$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & x < 0 \\
\frac{1}{2} & 0 \leq x < 1 \\
1-e^{-x} & x \geq 1
\end{array}\right.
$$
则 $P\{X=1\}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}-e^{-1}$
$\text{D.}$ $1-e^{-1}$
设 $f_1(x)$ 为标准正态分布的概率密度， $f_2(x)$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布的概率密度，若
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
a f_1(x), x \leq 0 \\
b f_2(x), x>0
\end{array}(a>0, b>0)\right.
$$
为概率密度，则 $a, b$ 应满足
$\text{A.}$ $2 a+3 b=4$
$\text{B.}$ $3 a+2 b=4$
$\text{C.}$ $a+b=1$
$\text{D.}$ $a+b=2$
随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数
$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & x < 0 \\
\frac{1}{2} & 0 \leq x < 1 \\
1-e^{-x} & x \geq 1
\end{array},\right.
$$
则 $P\{X=1\}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}-e^{-1}$
$\text{D.}$ $1-e^{-1}$
设 $F_1(x) ， F_2(x)$ 为两个分布函数，其相应的概率密度 $f_1(x)$ ， $f_2(x)$ 是连续函数，则必为概率密度的是
$\text{A.}$ $f_1(x) f_2(x)$
$\text{B.}$ $2 f_2(x) F_1(x)$
$\text{C.}$ $f_1(x) F_2(x)$
$\text{D.}$ $f_1(x) F_2(x)+f_2(x) F_1(x)$
二、填空题 （共 11 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}, P(A B)=0, P(A C)=P(B C)=\frac{1}{16}$, 则事件 $A, B, C$ 全不发 生的概率为
已知连续型随机变量 ${X}$ 的概率密度为
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2+2 x-1}
$$
则 $E X=$ $\qquad$ , $D X=$ $\qquad$
设随机变量 $X$ 服从 $(0,2)$ 的均匀分布, 则随机变量 $Y=X^2$在 $(0,4)$ 内概率分布密度 $f_Y(y)=$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x & 0 < x < 1 \\ 0 & \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，以 $Y$ 表示对 $X$ 的三次独立重复观察中事件 $\left\{X \leq \frac{1}{2}\right\}$ 出现的次数，则 $P\{Y=2\}=$
设随机变量 $X$ 服从参数为 $(2, p)$ 的二项分布，随机变量 $Y$服从参数为 $(3, p)$ 的二项分布，若 $P\{X \geq 1\}=\frac{5}{9}$ ，则 $P\{Y \geq 1\}=$
设一次试验成功的概率为 $p$ ，进行 100 次独立重复试验，当 $p=$ $\qquad$时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 $\qquad$
设随机变量$X$的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
1 / 3, x \in[0,1] \\
2 / 9, x \in[3,6] ， \\
0, \quad \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
若$k$ 使得 $P\{X \geq k\}=\frac{2}{3}$ ，则 $k$ 的取值范围是
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}$ 的指数分布，则
$$
P\{X>\sqrt{D X}\}=
$$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}$ 的指数分布，则
$$
P\{X>\sqrt{D X}\}=
$$
从数 $1,2,3,4$ 中任取一个数，记为 $X$ ，再从 $1,2, \cdots, X$ 中任取一个数，记为 Y ，则 $P\{Y=2\}=$
设随机变量 $X$ 概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{C}{k!}(k=0,1$, $2, \cdots)$ ，则 $E X^2=$
三、解答题 （ 共 17 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f_{X}(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^{2}\right)}$, 求随机变量 $Y=1-\sqrt[3]{X}$ 的概率密度函数 $f_{Y}(y)$.
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{-x}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0,\end{array}\right.$ 求随机变量 $Y=\mathrm{e}^{X}$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$.
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立，且都在区间 $[1,3]$ 上服从均匀分布，引进事件 $A=\{X \leq a\}, B=\{Y>a\}$.
(1) 已知 $P(A \cup B)=\frac{7}{9}$ ，求常数 $a$ ；
(2) 求 $\frac{1}{X}$ 的数学期望.
假设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
2 x & 0 < x < 1 \\
0 & \text { 其他 }
\end{array} ，\right.
$$
现在对 $\boldsymbol{X}$ 进行 $n$ 次独立重复观测，以 $V_n$ 表示观测值不大于
0.1 的次数，试求随机变量 $V_n$ 的概率分布.
假设随机变量 $X$ 服从参数为 $\mathbf{2}$ 的指数分布，证明：
$Y=1-e^{-2 X}$ 在区间 $(0,1)$ 上服从均匀分布.
从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 $\frac{2}{5}$. 设 $X$为途中遇到红灯的次数，求随机变量 $X$ 的分布律、分布函数和数学期望.
游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第 5 分钟、 25 分钟和 55 分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第 $X$ 分钟到达底层侯梯处，且 $X$ 在 $[0,60]$ 上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望
两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间 $T$ 的概率密度 $f(t)$ 、数学期望和方差.
设两个随机变量 $X, Y$ 相互独立，且都服从均值为 0 、方差为 $\frac{1}{2}$ 的正态分布，求随机变量 $|X-Y|$ 的方差.
假设一设备开机后无故障工作的时间 $\boldsymbol{X}$ 服从指数分布，平均无故障工作的时间 $\boldsymbol{E} \boldsymbol{X}$ 为 5 小时. 设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机. 试求该设备每次开机无故障工作的时间 $Y$ 的分布函数 $F(y)$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}} & x \in[1,8] \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
$F(x)$ 是 $X$ 的分布函数. 求随机变量 $Y=F(X)$ 的分布函数.
袋中有 1 个红球、 2 个黑球与 3 个白球: 现有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 以 $\boldsymbol{X} ， \boldsymbol{Y}, Z$ 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(1) 求 $P\{X=1 \mid Z=0\}$ ；
(2) 求二维随机变量 $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 的概率分布.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}
e^{-x}, 0 < y < x \\
0, \text {, 其他 }
\end{array}\right.
$$
(1) 求条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$;
(2) 求条件概率 $P\{X \leq 1 \mid Y \leq 1\}$.
袋中有 1 个红球、 2 个黑球与 3 个白球：现有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 以 $\boldsymbol{X} ， \boldsymbol{Y} ， \boldsymbol{Z}$ 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(1) 求 $P\{X=1 \mid Z=0\}$ ；
(2) 求二维随机变量 $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 的概率分布.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
\begin{gathered}
f(x, y)=A \mathrm{e}^{-2 x^2+2 x y-y^2}, \\
-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty
\end{gathered}
$$
求常数及 $A$ 及条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
\begin{gathered}
f(x, y)=A \mathrm{e}^{-2 x^2+2 x y-y^2}, \\
-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty
\end{gathered}
$$
求常数及 $A$ 及条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的概率分布分别为
且 $P\left\{X^2=Y^2\right\}=1$.
(1) 求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布;
(2) 求 $Z=X Y$ 的概率分布.
(3) 求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$.