一、单选题 （共 17 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
$n$ 维向量组 ${\alpha}_{1}, {\alpha}_{2}, \cdots, {\alpha}_{s}(3 \leqslant s \leqslant n)$ 线性无关的充分必要条件是 （ ）
$\text{A.}$ 存在一组不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}$, 使 $k_{1} {\alpha}_{1}+k_{2} {\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} {\alpha}_{s} \neq \mathbf{0}$.
$\text{B.}$ ${\alpha}_{1}, {\alpha}_{2}, \cdots, {\alpha}_{s}$ 中任意两个向量都线性无关.
$\text{C.}$ ${\alpha}_{1}, {\alpha}_{2}, \cdots, {\alpha}_{s}$ 中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出.
$\text{D.}$ ${\alpha}_{1}, {\alpha}_{2}, \cdots, {\alpha}_{s}$ 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关, 则向量组
$\text{A.}$ $ {\alpha}_{1}+ {\alpha}_{2}, {\alpha}_{2}+ {\alpha}_{3}, {\alpha}_{3}+ {\alpha}_{4}, {\alpha}_{4}+ {\alpha}_{1}$ 线性无关.
$\text{B.}$ $ {\alpha}_{1}- {\alpha}_{2}, {\alpha}_{2}- {\alpha}_{3}, {\alpha}_{3}- {\alpha}_{4}, {\alpha}_{4}- {\alpha}_{1}$ 线性无关.
$\text{C.}$ $ {\alpha}_{1}+ {\alpha}_{2}, {\alpha}_{2}+ {\alpha}_{3}, {\alpha}_{3}+ {\alpha}_{4}, {\alpha}_{4}- {\alpha}_{1}$ 线性无关.
$\text{D.}$ $ {\alpha}_{1}+ {\alpha}_{2}, {\alpha}_{2}+ {\alpha}_{3}, {\alpha}_{3}- {\alpha}_{4}, {\alpha}_{4}- {\alpha}_{1}$ 线性无关.
向量组 $\alpha_1, \alpha_2 \cdots, \alpha_s$ 线性无关的充分条件是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2 \cdots, \alpha_s$ 均不为零向量
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2 \cdots, \alpha_s$ 中任意两个向量的分量不成比例
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2 \cdots, \alpha_s$ 中任意一个向量均不能由其余 $s-1$ 个向量线性表示
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2 \cdots, \alpha_s$ 中有一部分向量线性无关
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 均为 $n$ 维向量，那么下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_m \alpha_m=0$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$线性相关
$\text{B.}$ 若对任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ ，都有$k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_m \alpha_m \neq 0 \text { ， }$ 则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关
$\text{C.}$ 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关，则对任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ ，都有 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_m \alpha_m=0$
$\text{D.}$ 若 $0 \alpha_1+0 \alpha_2+\ldots+0 \alpha_m=0$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关
设向量组 $\alpha_1=(1,-1,2,4), \alpha_2=(0,3,1,2), \alpha_3=(3,0,7,14)$, $\alpha_4=(1,-2,2,4), \alpha_5=(2,1,5,10)$ ，则该向量组的极大线性无关组是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_5$
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4, \alpha_5$
设 $n$ 维行向量 $\alpha=\left(\frac{1}{2}, 0 \cdots, 0 \frac{1}{2}\right)$ ，矩阵 $A=E-\alpha^T \alpha, B=E+2 \alpha^T \alpha,$ 其中 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $A B$ 等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-{E}$
$\text{C.}$ $E$
$\text{D.}$ $E+\alpha^T \alpha$
设有任意两个 $n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 和 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m$ ，若存在两组不全为零的 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m$ 和 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ ，使 $\left(\lambda_1+k_1\right) \alpha_1+\cdots+\left(\lambda_m+k_m\right) \alpha_m$ $+\left(\lambda_1-k_1\right) \beta_1+\cdots+\left(\lambda_m-k_m\right) \beta_m=0$ ，则
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 和 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m$ 都线性相关
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 和 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m$ 都线性无关
$\text{C.}$ $\alpha_1+\beta_1, \alpha_2+\beta_2, \cdots, \alpha_m+\beta_m, \alpha_1-\beta_1, \alpha_2-\beta_2$,$\cdots, \alpha_m-\beta_m$ 线性无关
$\text{D.}$ $\alpha_1+\beta_1, \alpha_2+\beta_2, \cdots, \alpha_m+\beta_m, \alpha_1-\beta_1, \alpha_2-\beta_2$,$\cdots, \alpha_m-\beta_m$ 线性相关
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{array}\right)$ ，则三条直线 $a_1 x+b_1 y+c_1=0, a_2 x+b_2 y+c_2=0, a_3 x+b_3 y+c_3=0$ (其中 $a_i^2+b_i^2 \neq 0, i=1,2,3$ ) 交于一点的充要条件是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关
$\text{C.}$ $r\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)=r\left(\alpha_1, \alpha_2\right)$
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关， $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，则下列向量组线性无关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3-\alpha_1$
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2+\alpha_3$
$\text{C.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2, 2 \alpha_2+3 \alpha_3, 3 \alpha_3+\alpha_1$
$\text{D.}$ $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, 2 \alpha_1-3 \alpha_2+22 \alpha_3, 3 \alpha_1+5 \alpha_2-5 \alpha_3$
设矩阵 $\left(\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right)$ 是满秩的，则两直线
$$
\frac{x-a_3}{a_1-a_2}=\frac{y-b_3}{b_1-b_2}=\frac{z-c_3}{c_1-c_2}, \frac{x-a_1}{a_2-a_3}=\frac{y-b_1}{b_2-b_3}=\frac{z-c_1}{c_2-c_3}
$$
$\text{A.}$ 相交于一点
$\text{B.}$ 重合
$\text{C.}$ 平行但不重合
$\text{D.}$ 异面
若向量组 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性无关， $\alpha, \beta, \delta$ 线性相关，则
$\text{A.}$ $\alpha$ 必可由 $\beta, \gamma, \delta$ 线性表示
$\text{B.}$ $\beta$ 必不可由 $\alpha, \gamma, \delta$ 线性表示
$\text{C.}$ $\delta$ 必可由 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性表示
$\text{D.}$ $\delta$ 必不可由 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性表示
设向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性表示，但不能由向量组(I): $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{m-1}$ 线性表示，记向量组(II): $\alpha_1$, $\alpha_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m-1}, \boldsymbol{\beta}$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_m$ 不能由 (I)线性表示，也不能由(II)线性表示
$\text{B.}$ $\alpha_m$ 不能由 (I) 线性表示，但可由 (II)线性表示
$\text{C.}$ $\alpha_m$ 可由 (I) 线性表示，也可由(II)线性表示
$\text{D.}$ $\alpha_m$ 可由 (I) 线性表示，但不可由(II)线性表示
设 $n$ 维列向量组 $\alpha_1, \cdots, \alpha_m(m < n)$ 线性无关，则 $n$ 维列向量组 $\beta_1, \cdots, \beta_m$ 线性无关的充分必要条件为
$\text{A.}$ 向量组 $\alpha_1, \cdots, \alpha_m$ 可由向量组 $\beta_1, \cdots, \beta_m$ 线性表示
$\text{B.}$ 向量组 $\beta_1, \cdots, \beta_m$ 可由向量组 $\alpha_1, \cdots, \alpha_m$ 线性表示
$\text{C.}$ 向量组 $\alpha_1, \cdots, \alpha_m$ 与向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m$ 等价
$\text{D.}$ 矩阵 $A=\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_m\right)$ 与矩阵 $B=\left(\beta_1, \cdots, \beta_m\right)$ 等价
11、设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵， $\alpha$ 是 $n$ 维列向量. 若秩 $\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ \alpha^T & 0\end{array}\right)=$ 秩
$(A)$ ，则线性方程组
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A X}=\alpha$ 必有无穷多解
$\text{B.}$ $A X=\alpha$ 必有惟一解
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^T & 0\end{array}\right)\binom{X}{y}=0$ 仅有零解
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^T & 0\end{array}\right)\binom{X}{y}=0$ 必有非零解
设有三张不同平面的方程
$$
a_{i 1} x+a_{i 2} y+a_{i 3} z=b_i, i=1,2,3 ，
$$
它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2 ，则这三张平面可能的位置关系为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $B$ 是 $n \times m$ 矩阵，则线性方程组 $(A B) x=O$
$\text{A.}$ 当 $n>m$ 时仅有零解
$\text{B.}$ 当 $n>m$ 时必有非零解
$\text{C.}$ 当 $m>n$ 时仅有零解
$\text{D.}$ 当 $m>n$ 时必有非零解
设有齐次线性方程组 $A x=0$ 和 $B x=0$ ，其中 $A, B$ 均为 $m \times n$ 矩阵，现有 4 个命题:
(1) 若 $A x=0$ 的解均是 $B x=0$ 的解，则 $r(A) \geq r(B)$
(2) 若 $r(A) \geq r(B)$ ，则 $A x=0$ 的解均是 $B x=0$ 的解
(3) 若 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解，则 $r(A)=r(B)$
(4) 若 $r(A)=r(B)$ ，则 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解以上命题中正确的是
$\text{A.}$ (1)(2)
$\text{B.}$ (1)(3)
$\text{C.}$ (2)(4)
$\text{D.}$ (3)(4)
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知向量组 $\alpha_{1}=(1,2,3,4), \alpha_{2}=(2,3,4,5), \alpha_{3}=(3,4,5,6), \alpha_{4}=(4,5,6,7)$, 则该向量的秩是
已知向量组 $\alpha_1=(1,2,-1,1), \alpha_2=(2,0, t, 0), \alpha_3=$ $(0,-4,5,-2)$ 的秩为 2 ，则 $t=$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_4$ 为线性方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 的一个基础解系，
$$
\begin{aligned}
& \beta_1=\alpha_1+t \alpha_2, \quad \beta_2=\alpha_2+t \alpha_3, \\
& \beta_3=\alpha_3+t \alpha_4, \quad \beta_4=\alpha_4+t \alpha_1,
\end{aligned}
$$
其中 $t$ 为实常数. 试问 $t$ 满足什么条件时， $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 也为 $A x=0$ 的一个基础解系.
设向量组 $\alpha_1=(a, 0, c), \alpha_2=(b, c, 0), \alpha_3=(0, a, b)$ 线性无关，则 $a, b, c$ 必须满足关系式
设 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 是实正交矩阵，且 $a_{11}=1, \quad b=(1,0,0)^T$ ，则线性方程组 $A x=b$ 的解是
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 均为三维列向量，记矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，
$$
B=\left(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2+4 \alpha_3, \alpha_1+3 \alpha_2+9 \alpha_3\right) \text { ， }
$$
如果 $|A|=1$ ，那么 $|B|=$ $\qquad$
已知 $\alpha_1, \alpha_2$ 为 2 维列向量，矩阵 $A=\left(2 \alpha_1+\alpha_2, \alpha_1-\alpha_2\right)$, $B=\left(\alpha_1, \alpha_2\right)$. 若行列式 $|A|=6$ ，则 $|B|=$
设 $\alpha_1=(1,2,-1,0)^T, \alpha_2=(1,1,0,2)^T, \alpha_3=(2,1$, $1, a)^T$ ，若由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 形成的向量空间的维数是 2，则 $a=$
三、解答题 （ 共 15 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关, 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关, 问:
(1) $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 能否由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出? 证明你的结论.
(2) $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 能否由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出?证明你的结论.
设 $A$ 是 $n \times m$ 矩阵, $B$ 是 $m \times n$ 矩阵, 其中 $n < m, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵, 若 $A B=E$, 证明 $B$ 的列向量组线性无关.
设 $\alpha_1=\left[\begin{array}{c}1+\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1+\lambda \\ 1\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1+\lambda\end{array}\right], \beta=\left[\begin{array}{c}0 \\ \lambda \\ \lambda^2\end{array}\right]$,
问 ${\lambda}$ 取何值时，
（1） $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表达式
唯一?
（2） $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表达式不唯一?
（3）$\beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示?
试证明 $n$ 维列向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关的充分必要条件是
$D=\left|\begin{array}{cccc}\alpha_1^T \alpha_1 & \alpha_1^T \alpha_2 & \cdots & \alpha_1^T \alpha_n \\ \alpha_2^T \alpha_1 & \alpha_2^T \alpha_2 & \cdots & \alpha_2^T \alpha_n \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_n^T \alpha_1 & \alpha_n^T \alpha_2 & \cdots & \alpha_n^T \alpha_n\end{array}\right| \neq 0$,
其中 $\alpha_i^T$ 表示列向量 $\alpha_i$ 的转置， $i=1,2, \cdots, n$.
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $B$ 是 $n \times m$ 矩阵， $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵 $(m>n)$. 已知 $B A=E$ ，试判断 $A$ 的列向量组是否线性相关? 为什么?
已知向量组 (I): $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, (II): $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$,
(III): $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5$ ，如果各向量组的秩分别为$R(\mathrm{I})=R(\mathrm{II})=3, \quad R(\mathrm{III})=4,$
证明: 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5-\alpha_4$ 的秩为 4 .
设向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_t$ 是齐次线性方程组 $A X=0$ 的一个基础解系，向量 $\boldsymbol{\beta}$ 不是方程组 $\boldsymbol{A} X=0$ 的解，即 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta} \neq 0$ ，试证明：向量组 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{t}}$ ， 线性无关.
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在正整数 $k$ ，使线性方程组 $A^k x=0$ 有解向量 $\boldsymbol{\alpha}$ ，且 $\boldsymbol{A}^{k-1} \boldsymbol{\alpha} \neq 0$.
证明: 向量组 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \alpha, \cdots, \boldsymbol{A}^{k-1} \boldsymbol{\alpha}$ 是线性无关的.
已知 $\alpha_1=(1,4,0,2)^T, \alpha_2=(2,7,1,3)^T, \alpha_3=(0,1,-1, a)^T$ ， $\beta=(3,10, b, 4)^T$ ，问:
（1） $a, b$ 取何值时， $\beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示?
（2） $a, b$ 取何值时， $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示? 并写出此表示式.
设向量组 $\alpha_1=(1,1,1,3)^T, \alpha_2=(-1,-3,5,1)^T, \alpha_3=$ $(3,2,-1, p+2)^T, \alpha_4=(-2,-6,10, p)^T$.
（1） $p$ 为何值时，该向量组线性无关? 并在此时将向量 $\alpha=(4,1,6,10)^T$ 用 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性表出；
（2） $p$ 为何值时，该向量组线性相关? 并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.
已知向量组 $\beta_1=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \beta_2=\left(\begin{array}{l}a \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \beta_3=\left(\begin{array}{l}b \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ 与向量组 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}9 \\ 6 \\ -7\end{array}\right)$ 具有相同的秩，且 $\beta_3$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，求 $a, b$ 的值.
设向量组 $\alpha_1=(a, 2,10)^T, \alpha_2=(-2,1,5)^T, \alpha_3=(-1$, $1,4)^T, \beta=(1, b, c)^T$ ，试问: 当 $a, b, c$ 满足什么条件时:
（1） $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出，且表示唯一?
（2） $\beta$ 不可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出?
（3） $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出，但表示不唯一? 并求出一般表达式.
设 $\alpha_i=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots a_{i n}\right)^T(i=1,2, \cdots, r ; r < n)$ 是 $n$维实向量，且 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots \alpha_r$ 线性无关. 己知 $\beta=\left(b_1, b_2, \cdots b_n\right)^T$是线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots a_{1 n} x_n=0 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots a_{2 n} x_n=0 \\
\cdots \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{r 1} x_1+a_{r 2} x_2+\cdots a_{r n} x_n=0
\end{array}\right.
$$
的非零解向量. 试判断向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots \alpha_r, \beta$ 的线性相关性.
设有向量组 $(I): \alpha_1=(1,0,2)^T, \alpha_2=(1,1,3)^T, \alpha_3=$ $(1,-1, a+2)^T$ 和 $(I I): \beta_1=(1,2, a+3)^T, \beta_2=(2,1, a+6)^T$, $\beta_3=(2,1, a+4)^T$. 试问: 当 $a$ 为何值时，两个向量组等价?当 $a$ 为何值时，两个向量组不等价?
已知三阶矩阵 $A$ 的第一行是 $(a, b, c), a, b, c$ 不全为零，矩阵 $B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k\end{array}\right]$ ( $k$ 为常数)，且 $A B=0$ ，求线性方程组 $A X=0$ 的通解.