题号:714    题型:单选题    来源:1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关, 则向量组 (  )
$A.$ $ {\alpha}_{1}+ {\alpha}_{2}, {\alpha}_{2}+ {\alpha}_{3}, {\alpha}_{3}+ {\alpha}_{4}, {\alpha}_{4}+ {\alpha}_{1}$ 线性无关. $B.$ $ {\alpha}_{1}- {\alpha}_{2}, {\alpha}_{2}- {\alpha}_{3}, {\alpha}_{3}- {\alpha}_{4}, {\alpha}_{4}- {\alpha}_{1}$ 线性无关. $C.$ $ {\alpha}_{1}+ {\alpha}_{2}, {\alpha}_{2}+ {\alpha}_{3}, {\alpha}_{3}+ {\alpha}_{4}, {\alpha}_{4}- {\alpha}_{1}$ 线性无关. $D.$ $ {\alpha}_{1}+ {\alpha}_{2}, {\alpha}_{2}+ {\alpha}_{3}, {\alpha}_{3}- {\alpha}_{4}, {\alpha}_{4}- {\alpha}_{1}$ 线性无关.
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答案:
C

解析:

这一类题目应当用观察法. 若不易用观察法时可转为计算行列式.
(A): 由于 $\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)-\left(\alpha_{2}+\alpha_{3}\right)+\left(\alpha_{3}+\alpha_{4}\right)-\left(\alpha_{4}+\alpha_{1}\right)=0$, 所以 (A) 线性相关.
(B) : 由于 $\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+\left(\alpha_{2}-\alpha_{3}\right)+\left(\alpha_{3}-\alpha_{4}\right)+\left(\alpha_{4}-\alpha_{1}\right)=0$, 所以 (B) 线性相关. 对于 (C), 实验几组数据不能得到 0 时, 应立即计算由 $\alpha$ 的系数构成的行列式, 即
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & -1 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right|=2 \neq 0,
$$
由行列式不为 0 , 知道 (C) 线性无关. 故应选 (C).
当然, 在处理 (C) 有困难时, 也可来看 (D), 由
$$
\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)-\left(\alpha_{2}+\alpha_{3}\right)+\left(\alpha_{3}-\alpha_{4}\right)+\left(\alpha_{4}-\alpha_{1}\right)=0 \text {, }
$$
知 (D) 线性相关, 于是用排除法可确定选 (C).
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