一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
要使 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right), \boldsymbol{\xi}_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ 都是线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, 只要系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为 ( )
$\text{A.}$ $(-2,1,1)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 4 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$.
设 $n$ 元齐次线性方程组 $A X=0$ 的系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，则 $A X=0$ 有非零解的充分必要条件是
$\text{A.}$ $r=n$
$\text{B.}$ $r < n$
$\text{C.}$ $r \geq n$
$\text{D.}$ $r>n$
设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，则齐次线性方程组 $A X=0$ 仅有零解的充分条件是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性相关
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量线性无关
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量线性相关
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $C$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，矩阵 $B=A C$ 的秩为 $r_1$ ，则
$\text{A.}$ $r>r_1$
$\text{B.}$ $r < r_1$
$\text{C.}$ $r=r_1$
$\text{D.}$ $r$ 与 $r_1$ 的关系依 $C$ 而定
非齐次线性方程组 $A X=b$ 中未知量个数为 $n$ ，方程个数为 $m$ ，系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，则
$\text{A.}$ $r=m$ 时，方程组 $A X=b$ 有解
$\text{B.}$ $r=n$ 时，方程组 $A X=b$ 有唯一解
$\text{C.}$ $m=n$ 时，方程组 $A X=b$ 有唯一解
$\text{D.}$ $r < n$ 时，方程组 $A X=b$ 有无穷多解
齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+\lambda^2 x_3=0 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+\lambda x_3=0\end{array}\right.$ 的系数矩阵记为 $A$ ，若存在三阶矩阵 $B \neq 0$ ，使得 $A B=0$ ，则
$\text{A.}$ $\lambda=-2$ 且 $|B|=0$
$\text{B.}$ $\lambda=-2$ 且 $|B| \neq 0$
$\text{C.}$ $\lambda=1$ 且 $|B|=0$
$\text{D.}$ $\lambda=1$ 且 $|B| \neq 0$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是四元非齐次线形方程组 $A X=b$ 的三个解向量，且秩 $(A)=3$ ，
$$
\alpha_1=(1,2,3,4)^T, \alpha_2+\alpha_3=(0,1,2,3)^T \text {, }
$$
$c$ 表示任意常数，则线形方程组 $\boldsymbol{A} X=b$ 的通解 $\boldsymbol{X}=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 5 \\ 6\end{array}\right)$
二、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $a_i \neq a_i(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n)$ ，
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\
a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & \cdots & a_n^2 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1}
\end{array}\right), \boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{r}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 \\
\vdots \\
1
\end{array}\right)
$$
则线性方程组 $A^T \boldsymbol{X}=B$ 的解是
已知方程组 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)$ 无解，则 $a=$
设 $\left(\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$ 有无穷多个解，则 $a=$
三、解答题 （ 共 30 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知三阶矩阵 $\boldsymbol{B} \neq 0$ ，且 $\boldsymbol{B}$ 的每一个列向量都是以下方程组的解：
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+2 x_2-2 x_3=0 \\
2 x_1-x_2+\lambda x_3=0 \\
3 x_1+x_2-x_3=0
\end{array}\right.
$$
(1) 求 $\lambda$ 的值;
(2) 证明 $|B|=0$
$k$ 为何值时，线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+k x_3=4 \\ -x_1+k x_2+x_3=k^2 \\ x_1-x_2+2 x_3=-4\end{array}\right.$ 唯
一解、无解、有无穷多组解? 在有解情况下，求出其全部解.
已知线性方程组
(I) $\left\{\begin{array}{c}a_{11} x_1+a_{12} x_2+\ldots+a_{1,2 n} x_{2 n}=0 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\ldots+a_{2,2 n} x_{2 n}=0 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\ldots+a_{n, 2 n} x_{2 n}=0\end{array}\right.$
的一个基础解系为 $\left(b_{11}, b_{12}, \cdots, b_{1,2 n}\right)^T,\left(b_{21}, b_{22}, \cdots, b_{2,2 n}\right)^T$, $\cdots,\left(b_{n 1}, b_{n 2}, \cdots, b_{n, 2 n}\right)^T$ ，试写出线性方程组
(II) $\left\{\begin{array}{l}b_{11} y_1+b_{12} y_2+\ldots+b_{1,2 n} y_{2 n}=0 \\ b_{21} y_1+b_{22} y_2+\ldots+b_{2,2 n} y_{2 n}=0 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ b_{n 1} y_1+b_{n 2} y_2+\ldots+b_{n, 2 n} y_{2 n}=0\end{array}\right.$
的通解，并说明理由.
设 $\alpha=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}1 \\ \frac{1}{2} \\ 0\end{array}\right), \gamma=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 8\end{array}\right), A=\alpha \beta^T, B=\beta^T \alpha$ ，
其中 $\beta^T$ 是 $\beta$ 的转置，求解方程 $2 B^2 A^2 x=A^4 x+B^4 x+\gamma$.
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 为线性方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 的一个基础解系，
$$
\begin{gathered}
\beta_1=t_1 \alpha_1+t_2 \alpha_2, \beta_2=t_1 \alpha_2+t_2 \alpha_3, \cdots, \\
\beta_s=t_1 \alpha_s+t_2 \alpha_1,
\end{gathered}
$$
其中 $t_1, t_2$ 为实常数. 试问 $t_1, t_2$ 满足什么条件时， $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$也为 $A x=0$ 的一个基础解系.
已知 4 阶方阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2 \alpha_3, \alpha_4\right) ， \alpha_1, \alpha_2 \alpha_3, \alpha_4$ 均为 4 维列向量，其中 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关， $\alpha_1=2 \alpha_2-\alpha_3$ ，如果 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4$ ，求线性方程组 $A x=\beta$ 的通解.
已知 4 阶方阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2 \alpha_3, \alpha_4\right) ， \alpha_1, \alpha_2 \alpha_3, \alpha_4$ 均为 4 维列向量，其中 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关， $\alpha_1=2 \alpha_2-\alpha_3$ ，如果 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4$ ，求线性方程组 $A x=\beta$ 的通解.
设四元齐次方程组 $(I):\left\{\begin{array}{l}2 x_1+3 x_2-x_3=0, \\ x_1+2 x_2+x_3-x_4=0,\end{array}\right.$ 且已知另一四元齐次线性方程组 $(I I)$ 的一个基础解系为
$$
\alpha_1=(2,-1, a+2,1)^T, \alpha_2=(-1,2,4, a+8)^T .
$$
（1）求方程组 $(I)$ 的一个基础解系;
（2）当 $a$ 为何值时，方程组 $(I)$ 与 $(I I)$ 有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解.
设齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}a x_1+b x_2+b x_3+\cdots+b x_n=0 \\ b x_1+a x_2+b x_3+\cdots+b x_n=0 \\ \cdots \cdots \cdots \\ b x_1+b x_2+b x_3+\cdots+a x_n=0\end{array}\right.$ ，其中 $a \neq 0, b \neq 0, n \geq 2$ ，试讨论 $a, b$ 为何值时，方程仅有零解、有无穷多解? 在有无穷多个解时，求出全部解，并且基础解系表示全部解.
已知平面上三条不同直线的方程分别为
$$
\begin{gathered}
l_1: a x+2 b y+3 c=0, l_2: b x+2 c y+3 a=0, \\
l_3: c x+2 a y+3 b=0 .
\end{gathered}
$$
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 $a+b+c=0$.
已知平面上三条不同直线的方程分别为
$$
\begin{gathered}
l_1: a x+2 b y+3 c=0, \\
l_2: b x+2 c y+3 a=0, \\
l_3: c x+2 a y+3 b=0 .
\end{gathered}
$$
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 $a+b+c=0$.
已知齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
\left(a_1+b\right) x_1+a_2 x_2+a_3 x_3+\cdots+a_n x_n=0 \\
a_1 x_1+\left(a_2+b\right) x_2+a_3 x_3+\cdots+a_n x_n=0 \\
a_1 x_1+a_2 x_2+\left(a_3+b\right) x_3+\cdots+a_n x_n=0 \\
\cdots \cdots \\
a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3+\cdots+\left(a_n+b\right) x_n=0
\end{array}\right.
$$
其中 $\sum_{i=1}^n a_i \neq 0$. 试讨论 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 和 $b$ 满足何种关系时，
(1) 方程组仅有零解;
（2）方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.
设有齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
(1+a) x_1+x_2+\cdots+x_n=0, \\
2 x_1+(2+a) x_2+\cdots+2 x_n=0, \quad(n \geq 2) \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
n x_1+n x_2+\cdots+(n+a) x_n=0,
\end{array}\right.
$$
试问 $a$ 取何值时，该方程组有非零解，并求出其非零解.
设有齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
(1+a) x_1+x_2+x_3+x_4=0, \\
2 x_1+(2+a) x_2+2 x_3+2 x_4=0, \\
3 x_1+3 x_2+(3+a) x_3+3 x_4=0, \\
4 x_1+4 x_2+4 x_3+(4+a) x_4=0,
\end{array}\right.
$$
试问 $a$ 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.
设方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+\lambda x_2+\mu x_3+x_4=0 \\ 2 x_1+x_2+x_3+2 x_4=0 \\ 3 x_1+(2+\lambda) x_2+(4+\mu) x_3+4 x_4=1\end{array}\right.$.
已知 $(1,-1,1,-1)^T$ 是该方程组的一个解，试求:
（1）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系
表示全部解;
设 $\alpha_1=(1,2,0)^T, \alpha_2=(1, a+2,-3 a)^T$ ， $\alpha_3=(-1,-b,-2, a+2 b)^T, \beta=(1,3,-3)^T$ ，
试讨论当 $a, b$ 为何值时，
(1) $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示;
（2） $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 唯一地线性表示，并求出表示式；
(3) $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1 \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示，但表示式不唯一，并求表示式.
已知三阶矩阵 $A$ 的第一行是 $(a, b, c), a, b, c$ 不全为零，矩阵 $B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k\end{array}\right]$ ( $k$ 为常数)，且 $A B=0$ ，求线性方程组 $A X=0$ 的通解.
已知齐次线性方程组
( I ) $\left\{\begin{array}{c}x_1+2 x_2+3 x_3=0, \\ 2 x_1+3 x_2+5 x_3=0, \\ x_1+x_2+a x_3=0\end{array}\right.$
(ㅍ) $\left\{\begin{array}{c}x_1+b x_2+c x_3=0, \\ 2 x_1+b^2 x_2+(c+1) x_3=0\end{array}\right.$
同解，求 $a, b, c$ 的值.
已知 非齐次线性方程组$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3+x_4=-1 \\
4 x_1+3 x_2+5 x_3-x_4=-1 \\
a x_1+x_2+3 x_3+b x_4=1
\end{array}\right. \text { ， }
$$
有 3 个线性无关的解.
(1) 证明方程组系数矩阵 $A$ 的秩 $r(A)=2$ ；
(2) 求 $a, b$ 的值及方程组的通解.
已知非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3+x_4=-1 \\ 4 x_1+3 x_2+5 x_3-x_4=-1 \text { ， } \\ a x_1+x_2+3 x_3+b x_4=1\end{array}\right.$
有三个线性无关的解.
(1) 证明方程组系数矩阵 $A$ 的秩 $r(A)=2$ ；
(2) 求 $a, b$ 的值及方程组的通解.
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3=0 \\
x_1+2 x_2+a x_3=0 \\
x_1+4 x_2+a^2 x_3=0
\end{array}\right.
$$
与方程组
$$
x_1+2 x_2+x_3=a-1
$$
有公共解，求 $a$ 的值及所有公共解.
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3=0 \\
x_1+2 x_2+a x_3=0 \\
x_1+4 x_2+a^2 x_3=0
\end{array}\right.
$$
与方程组
$$
x_1+2 x_2+x_3=a-1
$$
有公共解，求 $a$ 的值及所有公共解.
设 3 阶对称矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_1=1, \lambda_2=-2, \lambda_3=-2$ ，且 $\alpha_1=(1,-1,1)^T$ 是 $A$ 的属于 $\lambda_1$ 的一个特征向量，记
$$
B=A^5-4 A^3+E,
$$
其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵.
(1) 验证 $\alpha_1$ 是矩阵 $B$ 的特征向量，并求 $B$ 的全部特征值与特征向量;
(2) 求矩阵 $\boldsymbol{B}$.
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3=0 \\
x_1+2 x_2+a x_3=0 \\
x_1+4 x_2+a^2 x_3=0
\end{array}\right.
$$
与方程组
$$
x_1+2 x_2+x_3=a-1
$$
有公共解，求 $a$ 的值及所有公共解.
设 $n$ 元线性方程组 $A x=b$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{cccccc}
2 a & 1 & & & \\
a^2 & 2 a & 1 & & \\
& a^2 & 2 a & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & a^2 & 2 a & 1 \\
& & & & a^2 & 2 a
\end{array}\right)_{n \times n}, x=\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)
$$
(1) 证明行列式 $|A|=(n+1) a^n$;
(2) 当 $a$ 为何值时，该方程组有惟一解，并求 $x_1$.
(3) 当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解.
设 $n$ 元线性方程组 $A x=b$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{ccccccc}
2 a & 1 & & & & \\
a^2 & 2 a & 1 & & & \\
& a^2 & 2 a & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & a^2 & 2 a & 1 \\
& & & & a^2 & 2 a
\end{array}\right)_{n \times n}, x=\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)
$$
(1) 证明行列式 $|A|=(n+1) a^n$;
(2) 当 $a$ 为何值时，该方程组有惟一解，并求 $x_1$.
(3) 当 ${a}$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解.
设 $n$ 元线性方程组 $A x=b$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{cccccc}
2 a & 1 & & & & \\
a^2 & 2 a & 1 & & & \\
& a^2 & 2 a & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & a^2 & 2 a & 1 \\
& & & & a^2 & 2 a
\end{array}\right)_{n \times n}
$$
$$
, x=\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)
$$
(I) 证明行列式 $|A|=(n+1) a^n$;
(II) 当 $a$ 为何值时，该方程组有惟一解，并求 $x_1$.
(III) 当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解.
设 $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$. 已知线性方程组 $A x=b$ 存在两个不同的解.
（1）求 $\lambda, a$.
（2）求方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的通解.
设 $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right) ， b=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$. 已知线性方程组 $A x=b$ 存在两个不同的解.
（1）求 $\lambda, a$.
(2) 求方程组 $A x=b$ 的通解.
设 $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$. 已知线性方程组 $A x=b$ 存在两个不同的解.
（1）求 $\lambda, a$.
（2）求方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的通解.