一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设随机变量 $X_i \sim\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\end{array}\right)(i=1,2)$, 且满足 $P\left\{X_1 X_2=0\right\}=1$ ，则 $P\left\{X_1=X_2\right\}$ 等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 都服从正态分布，且它们不相关，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 一定独立
$\text{B.}$ $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 服从二维正态分布
$\text{C.}$ $\boldsymbol{X}$ 与 $Y$ 未必独立
$\text{D.}$ $\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}$ 服从一维正态分布
设二维随机变量的概率分布为
已知随机事件 $\{X=0\}$ 与 $\{X+Y=1\}$ 相互独立，则
$\text{A.}$ $a=0.2, b=0.3$
$\text{B.}$ $a=0.4, b=0.1$
$\text{C.}$ $a=0.3, b=0.2$
$\text{D.}$ $a=0.1, b=0.4$
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，且 $X$ 与 $Y$ 不相关， $f_X(x), f_Y(y)$ 分别表示 $X ， Y$ 的概率密度，则在 $Y=y$ 的条件下， $X$ 的条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ 为
$\text{A.}$ $f_X(x)$
$\text{B.}$ $f_Y(y)$
$\text{C.}$ $f_X(x) f_Y(y)$
$\text{D.}$ $\frac{f_X(x)}{f_Y(y)}$
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，且 $X$ 与 $Y$ 不相关， $f_X(x), f_Y(y)$ 分别表示 $X ， Y$ 的概率密度，则在 $Y=y$ 的条件下， $X$ 的条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ 为
$\text{A.}$ $f_X(x)$
$\text{B.}$ $f_Y(y)$
$\text{C.}$ $f_X(x) f_Y(y)$
$\text{D.}$ $\frac{f_X(x)}{f_Y(y)}$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 相互独立，且 $\boldsymbol{X}$ 服从标准正态分布 $N(0,1) ， Y$ 的概率分布为
$$
P\{Y=0\}=P\{Y=1\}=\frac{1}{2} .
$$
记 $F_z(z)$ 为随机变量 $Z=X Y$ 的分布函数，则函数 $F_z(z)$ 的间断点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $E(X)$ 与 $E(Y)$ 存在，记 $U=\max \{X, Y\} ， V=\min \{X, Y\}$ ，则 $E(U V)=$
$\text{A.}$ $E(U) \cdot E(V)$
$\text{B.}$ $E(X) \cdot E(Y)$.
$\text{C.}$ ${E}({U}) \cdot {E}({Y})$
$\text{D.}$ $E(X) \cdot E(V)$.
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $X$ 和 $Y$ 为两个随机变量，且
$$
\begin{aligned}
& P\{X \geq 0, Y \geq 0\}=\frac{3}{7}, \quad P\{X \geq 0\}=P\{Y \geq 0\}=\frac{4}{7}, \\
& \text { 则 } P\{\max (X, Y) \geq 0\}=
\end{aligned}
$$
设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\frac{1}{x}$ 及直线 $y=0, x=1, x=e^2$所围成，二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布，则 $(X, Y)$ 关于 $X$ 的边缘概率密度在 $x=2$ 处的值为
随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 的联合概率分布为
则 $X^2$ 和 $Y^2$ 的协方差 $\operatorname{cov}\left(X^2, Y^2\right)=$ $\qquad$ ， $X$ 和 $Y$的相关系数 $\rho=$ $\qquad$ .
设二维随机变量 $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
6 x & 0 \leq x \leq y \leq 1 \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right. \text { ， }
$$
则 $P\{X+Y \leq 1\}=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布为
已知随机事件 $\{X=0\}$ 与 $\{X+Y=1\}$ 相互独立，则 $a=$ $\qquad$ $b=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 相互独立，且均服从区间 $[0,3]$ 上的均匀分布，则 $P\{\max \{X, Y\} \leq 1\}=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 相互独立，且均服从区间 $[0,3]$ 上的均匀分布，则 $P\{\max \{X, Y\} \leq 1\}=$
设 $X_1, X_2, \ldots, X_m$ 为来自二项分布总体 $B(n, p)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差，记统计量 $T=\bar{X}-S^2$ ，则 $E(T)=$
三、解答题 （ 共 25 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 其概率密度函数分别为
$$
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{cc}
1, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array} \quad f_{Y}(y)= \begin{cases}\mathrm{e}^{-y}, & y>0, \\
0, & y \leqslant 0 .\end{cases}\right.
$$
求随机变量 $Z=2 X+Y$ 的概率密度函数$f_z(z)$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立, $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right), Y$ 服从 $[-\pi, \pi]$ 上的均匀分布, 求 $Z=X+Y$ 的 概率密度 (计算结果用标准正态分布函数 $\Phi$ 表示, 其中 $\left.\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}} \mathrm{~d} t\right. $ )
设 $\xi, \eta$ 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知 $\xi$ 的分布律为 $P\{\xi=i\}=\frac{1}{3}, i=1,2,3$, 又设 $X=\max \{\xi, \eta\}, Y=\min \{\xi, \eta\}$.
(1) 写出二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布律;
(2) 求随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
e^{-y} & 0 < x < y \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
求: (1) 随机变量 $X$ 的密度 $f_X(x)$ ；
(2) 概率 $P\{X+Y \leq 1\}$.
已知随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 的联合概率密度为
$$
\varphi(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
4 x y, & 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
求 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数 $F(x, y)$.
设随机变量 $Y$ 服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}=1$ 的指数分布，随机变量
$$
X_k=\left\{\begin{array}{ll}
0 & Y \leq k \\
1 & Y>k
\end{array}(k=1,2)\right.
$$
求: (1) $X_1$ 和 $X_2$ 的联合概率分布； (2) 求 $E\left(X_1+X_2\right)$.
某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80 件、 10 件和 10 件，现在从中随机抽取一件，记
$$
X_i=\left\{\begin{array}{cc}
1 & \text { 若抽到 } i \text { 等品 } \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}(i=1,2,3)\right.
$$
试求：(1) 随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的联合分布；
(2) 随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的相关系数 $\rho$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $\boldsymbol{Y}$ 相互独立，下表列出了二维随机变量 $(X, Y)$ 联合分布律及关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘分布中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在矩形
$$
G=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1\}
$$
上服从均匀分布，试求边长为 $X$ 和 $Y$ 的矩形面积 $S$ 的概率密度 $f(s)$.
设某班车起点站上客人数 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，且中途下车与否相互独立. 以 $\boldsymbol{Y}$ 表示在中途下车的人数，求:
(1) 在发车时有 $n$ 个乘客的条件下，中途有 $m$ 人下车的概率;
(2) 二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布.
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布在以点 $(0,1),(1,0),(1,1)$ 为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量 $U=X+Y$ 的方差.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 对联和分布是正方形
$$
G=\{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 3,1 \leq y \leq 3\}
$$
上的均匀分布，试求随机变量 $U=|X-Y|$ 的概率密度 $p(u)$.
假设随机变量 $U$ 在区间 $[-2,2]$ 上服从均匀分布，随机变量 $X=\left\{\begin{array}{ll}-1, & U \leq-1 \\ 1, & U>-1\end{array}, Y=\left\{\begin{array}{ll}-1, & U \leq 1 \\ 1, & U>1\end{array}\right.\right.$. 试求:
(1) $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 的联合概率分布 ;
(2) $D(X+Y)$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 独立，其中 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
X \sim\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
0.3 & 0.7
\end{array}\right) \text {. }
$$
而 $\boldsymbol{Y}$ 的概率密度为 $f(y)$ ，求随机变量 $\boldsymbol{U}=\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}$ 的概率密度 $g(u)$
设 $A, B$ 为随机事件，且
(I) 二维随机变量 $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 的概率分布;
() $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$.
设随机变量 $X$ 在区间 $(0,1)$ 上服从均匀分布，在 $X=x$ $(0 < x < 1)$ 的条件下，随机变量 $Y$ 在区间 $(0, x)$ 上服从均匀分布，求:
（1）随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $\boldsymbol{Y}$ 的联合概率密度;
(2) $Y$ 的概率密度;
(3) 概率 $P\{X+Y>1\}$.
设 $A, B$ 为两个随机事件，且
$$
\begin{array}{r}
P(A)=\frac{1}{4}, P(B \mid A)=\frac{1}{3}, P(A \mid B)=\frac{1}{2} \\
\text { 令 } X=\left\{\begin{array}{ll}
1, & A \text { 发生 } \\
0, & A \text { 不发生 }
\end{array} \quad Y= \begin{cases}1, & B \text { 发生 } \\
0, & B \text { 不发生 }\end{cases} \right.
\end{array}
$$
求: (1) 二维随机变量 $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 的概率分布;
(2) $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$
(3) $Z=X^2+Y^2$ 的概率分布.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}
1,0 < x < 1,0 < y < 2 x ， \\
0, \quad \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
求: (1) $(x, y)$ 的边缘概率密度 $f_X(x), f_Y(y)$ ；
(2) $Z=2 X-Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
求: ( I ) $(X, Y)$ 的边缘概率密度 $f_X(x), f_Y(y)$ ；
() $Z=2 X-Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$.
(II) $P\left\{\left.Y \leq \frac{1}{2} \right\rvert\, X \leq \frac{1}{2}\right\}$.
随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{l}
1 / 2,-1 < x < 0 \\
1 / 4,0 \leq x < 2 \\
0 \quad, \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
令 $Y=X^2 ， F(x, y)$ 为二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数.
(1) 求 $Y$ 的概率密度 $f_Y(y)$;
(2) $F\left(-\frac{1}{2}, 4\right)$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布为
其 中 $a, b, c$ 为常数，且 $X$ 的数学期望为 $E X=-0.2, P\{Y \leq 0 \mid X \leq 0\}=0.5$ ，记 $Z=X+Y$ ，求:
(1) $a, b, c$ 的值;
(2) $Z$ 的概率分布;
(3) $P\{X=Z\}$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}
2-x-y, 0 < x < 1,0 < y < 1 \\
0 \quad, \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
(1) 求 $P\{X>2 Y\}$ ；
(2) 求 $Z=X+Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}
2-x-y, 0 < x < 1,0 < y < 1 \\
0 \quad, \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
(I) 求 $P\{X>2 Y\}$ ；
(II) 求 $Z=X+Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 独立同分布，且 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
记 $U=\max \{X, Y\}, V=\min \{X, Y\}$. 求:
(1) $(U, V)$ 的概率分布;
(2) $\boldsymbol{U}$ 与 $\boldsymbol{V}$ 的协方差 $\operatorname{Cov}(\boldsymbol{U}, \boldsymbol{V})$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $Y$ 相互独立， $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
P\{X=i\}=\frac{1}{3}(i=-1,0,1) ，
$$
$\boldsymbol{Y}$ 的概率密度为
$$
f_{\mathrm{y}}(y)=\left\{\begin{array}{l}
1,0 \leq y < 1 \\
0, \text { 其他 }
\end{array}\right. \text {, }
$$
记 $Z=X+Y$.
(1) 求 $P\left\{\left.Z \leq \frac{1}{2} \right\rvert\, X=0\right\}$;
(2) 求 $Z$ 的概率密度 $f_Z(z)$.