一、单选题 （共 12 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 独立同分布，记$U=X-Y, V=X+Y ，$ 则随机变量 $\boldsymbol{U}$ 与 $\boldsymbol{V}$ 必然
$\text{A.}$ 不独立
$\text{B.}$ 独立
$\text{C.}$ 相关系数不为零
$\text{D.}$ 相关系数为零
设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 方差分别为 4 和 2 ，则随机变量 $3 X-2 Y$ 的方差是
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 16
$\text{C.}$ 28
$\text{D.}$ 44
设 $X$ 是一随机变量, $E X=\mu, D X=\sigma^2(\mu, \sigma>0$ 为常数)，则对任意常数 $c$ ，必有
$\text{A.}$ $E(X-c)^2=E X^2-c^2$
$\text{B.}$ $E(X-c)^2=E(X-\mu)^2$
$\text{C.}$ $E(X-c)^2 < E(X-\mu)^2$
$\text{D.}$ $E(X-\mathrm{c})^2 \geq E(X-\mu)^2$
设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从 $N(0,1)$ 和 $N(1,1)$ ，则
$\text{A.}$ $P(X+Y \leq 0)=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $P(X+Y \leq 1)=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $P(X-Y \leq 0)=\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $P(X-Y \leq 1)=\frac{1}{2}$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差存在且不等于 0 ，则 $D(X+Y)=D X+D Y$ 是 $X$ 和 $Y$
$\text{A.}$ 不相关的充分条件，但不是必要条件
$\text{B.}$ 独立的必要条件，但不是充分条件
$\text{C.}$ 不相关的充要条件
$\text{D.}$ 独立的充要条件
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，则随机变量 $\xi=X+Y$ 与 $\eta=X-Y$ 不相关的充分必要条件为
$\text{A.}$ $E(X)=E(Y)$
$\text{B.}$ $E\left(X^2\right)-[E(X)]^2=E\left(Y^2\right)-[E(Y)]^2$
$\text{C.}$ $E\left(X^2\right)=E\left(Y^2\right)$
$\text{D.}$ $E\left(X^2\right)+[E(X)]^2=E\left(Y^2\right)+[E(Y)]^2$
将一枚硬币重复掷 $n$ 次，以 $X$ 和 $Y$ 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 $X$ 和 $Y$ 的相关系数等于
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
将一枚硬市重复掷 $n$ 次，以 $X$ 和 $Y$ 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 的相关系数等于
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$ 独立同分布，且其方差为 $\sigma^2>0$ ，令 $Y=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，则
$\text{A.}$ $\operatorname{Cov}\left(X_1, Y\right)=\frac{\sigma^2}{n}$
$\text{B.}$ $\operatorname{Cov}\left(X_1, Y\right)=\sigma^2$
$\text{C.}$ $D\left(X_1+Y\right)=\frac{n+2}{n} \sigma^2$
$\text{D.}$ $D\left(X_1-Y\right)=\frac{n+1}{n} \sigma^2$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geq 2)$ 为来自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值， $S^2$ 为样本方差，则
$\text{A.}$ $n \bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $n S^2 \sim \chi^2(n)$
$\text{C.}$ $\frac{(n-1) \bar{X}}{S} \sim t(n-1)$
$\text{D.}$ $\frac{(n-1) X_1^2}{\sum_{i=2}^n X_i^2} \sim F(1, n-1)$
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(1,4)$, 且相关系数 $\rho_{X Y}=1$ ，则
$\text{A.}$ $P\{Y=-2 X-1\}=1$
$\text{B.}$ $P\{Y=2 X-1\}=1$
$\text{C.}$ $P\{Y=-2 X+1\}=1$
$\text{D.}$ $P\{Y=2 X+1\}=1$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数为
$$
F(x)=0.3 \Phi(x)+0.7 \Phi\left(\frac{x-1}{2}\right) ，
$$
其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布的分布函数，则 $E(X)=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 0.3
$\text{C.}$ 0.7
$\text{D.}$ 1
二、填空题 （共 13 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知离散型随机变量 $X$ 服从参数为 2 的泊松 (Poisson) 分布, 即 $P\{X=k\}=\frac{2^{k} e^{-2}}{k !}, k=0,1,2 \cdots$, 则随机变量 $Z=3 X-2$ 的数学期望 $E(Z)=$
设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的指数分布, 则数学期望 $E\left(X+\mathrm{e}^{-2 X}\right)=$
设相互独立的两个随机变量 $X, Y$ 具有同一分布律, 且 $X$ 的分布律为
则随机变量 $Z=\max \{X, Y \} $ 的分布律为
假设 $P(A)=0.4, P(A \cup B)=0.7$ ，那么
(1) 若 $A$ 与 $B$ 互不相容，则 $P(B)=$
(2) 若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P(B)=$
设随机变量 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，其中 $X_1$ 在 $[0,6]$ 上服从均匀分布， $X_2$ 服从正态分布 $N\left(0,2^2\right) ， X_3$ 服从参数为 $\lambda=3$ 的泊松分布，记 $Y=X_1-2 X_2+3 X_3$ ，则 $D Y=$
设总体 $X$ 的方差为 1 ，根据来自 $X$ 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5 ，则 $\boldsymbol{X}$ 的数学期望的置信度近似等于 0.95 的置信区间为
设 $X$ 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 $0.4$ ，则 $X^2$ 数学期望 $E\left(X^2\right)=$
设 $\boldsymbol{X}$ 是一个随机变量，其概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
1+x, & -1 \leq x \leq 0 \\
1-x, & 0 \leq x \leq 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
则方差 $\boldsymbol{D} \boldsymbol{X}=$
设 $\boldsymbol{X}$ 服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}$ 的泊松(Poisson)分布，且已知 $E[(X-1)(X-2)]=1$, 则 $\lambda=$
假设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 在区间 $[-1,2]$ 上服从均匀分布，随机变量 $Y=\left\{\begin{array}{ll}1, & X>0 \\ 0, & X=0 \\ -1, & X < 0\end{array}\right.$, 则方差 $D Y=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 的相关系数为 $0.5 ， E X-E Y=Q$ $E X^2=E Y^2=2$ ，则 $E(X+Y)^2=$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相关系数为 0.9 ，若 $Z=X-0.4$ ，则 $Y$ 与 $Z$ 的相关系数为
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{2} e^{-|x|}(-\infty < x < +\infty)$, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体 $X$ 的简单随机样本，其样本方差为 $S^2$ ，则 $E\left(S^2\right)=$
三、解答题 （ 共 15 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布, 并且 $X$ 和 $Y$ 分别服从正态分布 $N\left(1,3^{2}\right)$ 和 $N\left(0,4^{2}\right), X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}=-\frac{1}{2}$, 设 $Z=\frac{X}{3}+\frac{Y}{2}$,
(1) 求 $Z$ 的数学期望 $E(Z)$ 和方差 $D(Z)$;
(2) 求 $X$ 与 $Z$ 的相关系数 $\rho_{X Z}$;
(3) 问 $X$ 与 $Z$ 是否相互独立?为什么?
假设有 10 只同种电器元件，其中有两只废品. 装配仪器时要从这批元件中任取一只，如是废品，则重新任取一只；若仍是废品，则再取一只. 试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布，数学期望和方差.
一电子仪器由两个部件构成，以 $\boldsymbol{X}$ 和 $\boldsymbol{Y}$ 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时)，已知 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数为:
$$
F(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
1-e^{-0.5 x}-e^{-0.5 y}+e^{-0.5(x+y)} & x \geq 0, y \geq 0 \\
0 & \text { 其他 }
\end{array} .\right.
$$
(1) 问 $X$ 和 $Y$ 是否独立?
(2) 求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率 $\alpha$.
一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 $0.10,0.20$ 和 0.30 ，假设各部件的状态相互独立，以 $X$ 表示同时需要调的部件数，试求 $\boldsymbol{X}$ 的数学期望 $E X$ 和方差 $D X$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 同分布， $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{3}{8} x^2 & 0 < x < 2 \\ 0 & \text { 其他 }\end{cases}
$$
(1) 已知事件 $A=\{X>a\}$ 和 $B=\{Y>a\}$ 独立，且 $P(A \cup B)=\frac{3}{4}$ ，求常数 $a$ ；
(2) 求 $\frac{1}{X^2}$ 的数学期望.
假设二维随机变量 $(X, Y)$ ，在矩形
$$
G=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1\}
$$
上服从均匀分布，记 $U=\left\{\begin{array}{ll}0 & X \leq Y \\ 1 & X>Y\end{array}, V=\left\{\begin{array}{ll}0 & X \leq 2 Y \\ 1 & X>2 Y\end{array}\right.\right.$.
(1) 求 $U$ 和 $V$ 的联合分布; (2) 求 $U$ 和 $V$ 的相关系数 $\rho$.
已知随机变量 $\boldsymbol{X}_1$ 和 $\boldsymbol{X}_2$ 的概率分布
$$
\begin{aligned}
& X_1 \sim\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 1 \\
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}
\end{array}\right], X_2 \sim\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{array}\right] \\
& \text { 且 } P\left\{X_1 X_2=0\right\}=1 .
\end{aligned}
$$
(1) 求 $X_1$ 和 $X_2$ 的联合分布;
(2) 问 $X_1$ 和 $X_2$ 是否独立? 为什么?
某流水生产线上每一个产品不合格的概率为
$$
p(0 < p < 1) \text { ， }
$$
各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修. 设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为 $\boldsymbol{X}$ ，求 $\boldsymbol{X}$的数学期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$
设 $A, B$ 是二随机事件，随机变量
试证明随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 不相关的充分必要条件是 $\boldsymbol{A}$ 和 $B$ 相互独立.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的密度函数为
$$
f(x, y)=\frac{1}{2}\left[\varphi_1(x, y)+\varphi_2(x, y)\right]
$$
其中 $\varphi_1(x, y)$ 和 $\varphi_2(x, y)$ 都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $-\frac{1}{3}$ ，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是 1 .
(1) 求随机变量 $X$ 和 $Y$ 的密度函数 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 及 $X$ 和 $Y$的相关系数 $\rho$ (可直接利用二维正态密度的性质)
(2) 问 $X$ 和 $Y$ 是否独立? 为什么?
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}, & 0 \leq x \leq \pi \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
对 $X$ 独立地重复观察 4 次，用 $Y$ 表示观察值大于 $\frac{\pi}{3}$ 的次数，求 $Y^2$ 的数学期望.
已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求:
(1) 乙箱中次品件数的数学期望.
(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{l}
1 / 2,-1 < x < 0 \\
1 / 4,0 \leq x < 2 \\
0 \quad, \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
令 $Y=X^2 ， F(x, y)$ 为二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数.
(1) 求 $Y$ 的概率密度 $f_Y(y)$ ；
(2) $\operatorname{Cov}(X, Y)$;
(3) $F\left(-\frac{1}{2}, 4\right)$.
设总体 $X$ 的概率分布为
其中 $\theta \in(0,1)$ 未知，以 $N_i$ 来表示来自总体 $X$ 的简单随机样本(样本容量为 $n$ )中等于 $i$ 的个数 $(i=1,2,3)$ ，试求常数 $a_1$, $a_2, a_3$ 使 $T=\sum_{i=1}^3 a_i N_i$ 为 $\theta$ 的无偏估计量，并求 $T$ 的方差.
箱内有 6 个球，其中红，白，黑球的个数分别为 $1 ， 2$ ， 3 个，现从箱中随机的取出 2 个球，记 $X$ 为取出的红球个数， $Y$ 为取出的白球个数.
(1) 求随机变量 $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 的概率分布;
(2) 求 $\operatorname{cov}(X, Y)$.