单选题 （共 14 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A 、 B$ 为随机事件，$P(B)>0$ ，则
$\text{A.}$ $P(A \bigcup B) \geqslant P(A)+P(B)$
$\text{B.}$ $P(A B) \geqslant P(A) P(B)$
$\text{C.}$ $P(A-B) \geqslant P(A)-P(B)$
$\text{D.}$ $P(A \mid B) \geqslant \frac{P(A)}{P(B)}$
设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$ ，则随机变量 $Y=|X|$ 的概率密度为
$\text{A.}$ $f_Y(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$
$\text{B.}$ $f_Y(x)=f(x)+f(-x)$
$\text{C.}$ $f_Y(x)= \begin{cases}\frac{f(x)+f(-x)}{2}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}$
$\text{D.}$ $f_Y(x)= \begin{cases}f(x)+f(-x), & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 e^{-2 x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则随机变量 $Y=1-e^{-2 X}$ 服从
$\text{A.}$ 正态分布．
$\text{B.}$ 指数分布
$\text{C.}$ 泊松分布
$\text{D.}$ $[0,1]$ 上的均匀分布
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且有相同的分布函数 $F(x), Z=X+Y, F_Z(z)$ 为 $Z$的分布函数，则下列成立的是
$\text{A.}$ $F_Z(2 z)=2 F(z)$
$\text{B.}$ $F_Z(2 z)=[F(z)]^2$
$\text{C.}$ $F_z(2 z) \leqslant[F(z)]^2$
$\text{D.}$ $F_Z(2 z) \geqslant[F(z)]^2$
设平面区域 $D$ 是由 $x$ 轴，$y$ 轴及直线 $x+\frac{y}{2}=1$ 所围成的三角形区域，二维随机变量 $(X, Y)$ 在 $D$ 上服从均匀分布，则 $f_{X \mid Y}(x \mid y)=$ $\qquad$
$\text{A.}$ $f_{X \mid Y}(x \mid y)= \begin{cases}\frac{2}{2-y}, & 0 < x < 1-\frac{y}{2} \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$
$\text{B.}$ $f_{X \mid Y}(x \mid y)= \begin{cases}\frac{2}{1-y}, & 0 < x < 1-\frac{y}{2} \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$
$\text{C.}$ $f_{X \mid Y}(x \mid y)= \begin{cases}\frac{1}{2-y}, & 0 < x < 1-\frac{y}{2} \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$
$\text{D.}$ $f_{X \mid Y}(x \mid y)= \begin{cases}\frac{1}{1-y}, & 0 < x < 1-\frac{y}{2} \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$
设条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2 x}{y^2}, & 0 \leqslant x \leqslant y \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ ，则 $P\left\{\left.X>\frac{1}{5} \right\rvert\, Y=\frac{4}{5}\right\}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{16}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{16}$
$\text{C.}$ $\frac{9}{25}$
$\text{D.}$ $\frac{15}{16}$
设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且均服从正态分布 $N\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，则随机变量 $Z=|X-Y|$ 的概率密度 $f_Z(z)$ 为
$\text{A.}$ $f_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^2}{2}},-\infty < z < +\infty$
$\text{B.}$ $f_Z(z)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}},-\infty < z < +\infty$
$\text{C.}$ $f_Z(z)= \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}, & z>0 \\ 0, & z \leqslant 0 .\end{cases}$
$\text{D.}$ $f_Z(z)= \begin{cases}\sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}, & z>0 \\ 0, & z \leqslant 0\end{cases}$
设相互独立的随机变量 $X_1$ 和 $X_2$ 的分布函数分别为 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ ，概率密度分别为 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ ，则随机变量 $Y=\min \left(X_1, X_2\right)$ 的概率密度 $f(x)=$ $\qquad$
$\text{A.}$ $f_1(x) f_2(x)$
$\text{B.}$ $f_1(x) F_1(x)+f_2(x) F_2(x)$
$\text{C.}$ $f_1(x)\left[1-F_2(x)\right]+f_2(x)\left[1-F_1(x)\right]$
$\text{D.}$ $f_1(x) F_2(x)+f_2(x) F_1(x)$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=a e^{x(b-x)}(-\infty < x < +\infty)$ ，且 $E(X)=2 D(X)$ ，则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{e \sqrt{\pi}}, b=2$.
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{\sqrt{\pi}}, b=2$ ．
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{e \sqrt{\pi}}, b=1$ ．
$\text{D.}$ $a=\frac{1}{\sqrt{\pi}}, b=1$ ．
设随机变量 $\theta \sim U[0,2 \pi], X=\cos \theta, Y=\sin \theta$ ，则
$\text{A.}$ $X$ 与 $Y$ 相互独立
$\text{B.}$ $X^2$ 与 $Y^2$ 相互独立
$\text{C.}$ $X$ 与 $Y$ 不相关
$\text{D.}$ $X^2$ 与 $Y^2$ 不相关
设 $X_n$ 表示将一硬币独立重复投掷 $n$ 次，出现反面向上的次数，则
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_n-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_n-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_n-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_n-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
设 $X_n$ 表示将一硬币独立重复投掷 $n$ 次，出现反面向上的次数，则
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_n-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_n-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_n-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_n-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
设总体 $X$ 和 $Y$ 都服从标准正态分布 $N(0,1), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 和 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 是来自于总体 $X$ 和 $Y$ 的两个相互独立的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 $\bar{X}, S_X^2$ 和 $\bar{Y}, S_Y^2$ ，则
$\text{A.}$ $\bar{X}-\bar{Y} \sim N(0,2)$
$\text{B.}$ $S_X^2+S_Y^2 \sim \chi^2(2 n-2)$
$\text{C.}$ $\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{S_X^2+S_Y^2}} \sim t(2 n-2)$
$\text{D.}$ $\frac{S_X^2}{S_Y^2} \sim F(n-1, n-1)$
设总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体的简单随机样本，$S^2$ 是样本方差，
下列正确的是
$\text{A.}$ $\sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2(n)$
$\text{B.}$ $\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n} S} \sim t(n)$
$\text{C.}$ $\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{\sigma}\right)^2+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$
$\text{D.}$ $\frac{(n-1) X_n^2}{\sum_{i=1}^n X_i^2} \sim F(1, n-1)$
填空题 （共 11 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A, B$ 是任意两个随机事件，化简 $(\bar{A} \cup B)(A \cup B)(\bar{A} \cup \bar{B})(A \cup \bar{B})$ ．
一个工人生产了 3 个零件，以事件 $\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{i}}$ 表示她他生产的第 $\boldsymbol{i}$ 个零件是合格品 $(i=1,2,3)$ ，试用 $A_i(i=1,2,3)$ 表示下列事件：
（1）只有第 1 个零件是合格品 $\boldsymbol{B}_1$ ；
（2） 3 个零件中只有 1 个合格品 $\boldsymbol{B}_{\mathbf{2}}$ ；
（3） 3 个零件中有一个合格品 $\boldsymbol{B}_3$ ；
（4）第 1 个是合格品，但后两个零件中至少有一个次品 $\boldsymbol{B}_{\mathbf{4}}$ ；
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为两个随机事件， $\boldsymbol{P}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})=\boldsymbol{P}(\overline{\boldsymbol{A}} \overline{\boldsymbol{B}})$ ，已知 $\boldsymbol{P}(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{p}$ ，则 $P(B)=$ $\qquad$ ．
设 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}, P(A B)=0, P(A C)=P(B C)=\frac{1}{8}$ ，则事件 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 全不发生的概率为 $\qquad$ ．
设袋中有 50 只乒乓球，其中 20 只黄球， 30 只白球，现从中依次不放回地任取两个，则第二次取得黄球的概率为
设随机事件 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相互独立，已知 $\boldsymbol{A}$ 发生 $\boldsymbol{B}$ 不发生的概率和 $\boldsymbol{B}$ 发生 $\boldsymbol{A}$ 不发生的概率相等，且 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都不发生的概率为 $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{9}}$ ，则 $\boldsymbol{P}(\boldsymbol{A})=$
设相互独立的三事件 $A, B, C$ 满足条件：$P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(C)=0.5$ ，则概率 $P(A \bar{C} \mid A B \cup C)=$ $\qquad$ ．
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x < -1, \\ \frac{5 x+7}{16}, & -1 \leqslant x < 1, \\ 1, & x \geqslant 1 .\end{array}\right.$ ，则 $P\left(X^2=1\right)=$
已知 $X \sim E(2), Y \sim E(1)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立则 $E \max \{X, Y\}=$ $\qquad$
随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$ 相互独立同分布，且期望均为 $\mu$ ，方差均为 $\sigma^2(\sigma>0)$ ，令 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，求 $X_1$ 与 $\bar{X}$ 的相关系数 $\rho=$
（数一）设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，其中 $\mu, \sigma^2$ 未知，记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, Q^2=\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ ，则假设 $H_0: \mu=0$ 的 $t$ 检验统计量 $T=$ $\qquad$ ．
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
10 个产品中有 4 个次品，从中任取 3 个，求至少有一个次品的概率．
设袋中有十只球，其中六只红球和四只白球，现从中不放回地任取两只球，求已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率．
连续进行某项试验，每次试验只有成功和失败两个结果，当第 $k$ 次失败时，第 $k+1$次试验成功的概率为 $\frac{3}{4}$ ，且第一次试验成功与失败的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，令 $X$ 表示首次成功时的试验次数，求 $E(X)$ ．
已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-|x|},-\infty < x < +\infty$ ，设 $Y= \begin{cases}1, & X>0, \\ -1, & X \leqslant 0 .\end{cases}$
（I）求 $X$ 的分布函数；
（II）求 $Y$ 的概率分布和分布函数；
已知二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率分布为
分别按下列已知条件，求 $\alpha, \beta$ ．
（I）如果 $P\{X+Y=1\}=0.4$ ；
（II）如果 $X$ 与 $X$ 不相关；
（III）已知事件 $\{X=0\}$ 与 $\{Y=1\}$ 相互独立；
（IV）设 $F(x, y)$ 为 $(X, Y)$ 分布函数，且 $F\left(\frac{1}{2}, 1\right)=0.4$ ．
设 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)= \begin{cases}\frac{1}{4}, & |x| \leqslant 1, \\ \frac{1}{8}, & 1 < |x| \leqslant 3, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$
求：（I）$Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ ；
（II） $\operatorname{Cov}(X, Y)$ ．
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，在 $X=x(x \in R)$ 的条件下，$Y$ 的条件概率密度为 $f_{Y \mid X}(y \mid x)=A \mathrm{e}^{-(y-x)^2}, y \in R$ ，
求：（I）常数 $A$ ；（II）$Y$ 的边缘概率密度 $f_Y(y)$ ；（III）条件概率 $P(X>1 \mid Y=2)$ ．
设 $X, Y$ 的联合密度函数为 $f(x, y)= \begin{cases}e^{-(x+y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$求：
（I）求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ；
（II）求 $Z=2 X-Y$ 的密度函数；
（III）求 $E(X+Y)$ ；
（IV）求联合分布函数 $F(x, y)$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 的概率分布为 $P\{X=0\}=\frac{1}{4}, P\{X=1\}=\frac{3}{4}$ ， $Y \sim E(1)$ ，设 $Z=(2 X-1) Y$ ，设 $(Y, Z)$ 的分布函数为 $F(y, z)$ ．求：
（I）$Z$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 及数学期望 $E(Z)$ ；
（II）$F(2,-1)$ 的值．
已知 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自二项分布 $B(m, p)$ 的样本，其中 $m$ 是已知的正整数，$p$ 是未知参数，求 $p$ 的矩估计量和最大似然估计量．
设总体 $X$ 的密度函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{\frac{x-\mu}{\theta}}, x \geqslant \mu, \\ 0, \text { 其他．}\end{array}\right.$ 其中 $\theta>0$ ，
求：（I）$\mu, \theta$ 的矩估计；
（II）$\mu, \theta$ 的最大似然估计．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且分别服从正态分布 $N\left(2 \mu, \sigma^2\right)$ 与 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\sigma$ 是未知参数且 $\sigma>0$ ．记 $Z=X-2 Y$ ．
（I）求 $Z$ 的概率密度 $f\left(z ; \sigma^2\right)$ ；
（II）设 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本，求 $\sigma^2$ 的最大似然估计量 $\hat{\sigma}^2$ ；
（III）求 $E\left(\hat{\sigma}^2\right), D\left(\hat{\sigma}^2\right)$ ．