设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且分别服从正态分布 $N\left(2 \mu, \sigma^2\right)$ 与 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\sigma$ 是未知参数且 $\sigma>0$ ．记 $Z=X-2 Y$ ．
（I）求 $Z$ 的概率密度 $f\left(z ; \sigma^2\right)$ ；
（II）设 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本，求 $\sigma^2$ 的最大似然估计量 $\hat{\sigma}^2$ ；
（III）求 $E\left(\hat{\sigma}^2\right), D\left(\hat{\sigma}^2\right)$ ．