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yan6

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

1. 设有直线

L : {\begin{cases} x - y - 4 z + 1 = 0 \\ x + y - 3 = 0 \end{cases}

, 曲面

z = x^{2} - y^{2} + z^{2}

在点

(1, 1, 1)

处的切平面П, 则直线

L

与平面

Π

的位置关系是:

A.

L \subset Π

B.

L / / Π

C.

L ⊥ Π

D.

L

与斜交

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2. 直线

L : \frac{x}{3} = \frac{y}{- 2} = \frac{z}{7}

和平面

π : 3 x - 2 y + 7 z - 8 = 0

的位置关系是

A.

直线

L

平行于平面

π

B.

直线

L

在平面

π

上

C.

直线

L

垂直于平面

π

D.

直线

L

与平面

π

斜交

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3. 设

z = f (x, y)

在点

(1, 1)

处可微, 且

lim_{\begin{matrix} x \to 1 \\ y \to 1 \end{matrix}} \frac{f (x, y) - f (1, 1) - 2 x - y + 3}{\sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2}}} = 0

, 则

z = f (x, y)

在

(1, 1)

点沿

l = {1, 2}

方向的方向导数为

A.

- \frac{4}{\sqrt{5}}

B.

\frac{4}{\sqrt{5}}

C.

-1

D.

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4. 设向量组 ( I):

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}, α_{5}

均为 4 维列向量,

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}, α_{5})

, 若

η_{1} = (- 1, 1, 0, 0, 0)

η_{2} = (0, 1, 3, 1, 0), η_{3} = (1, 0, 5, 1, 1)^{T}

是齐次方程组

A X = 0

的一个基础解系, 则向量组 ( I) 的一个极大无关组是

(\begin{array}{l} 。 \end{array}

A.

α_{1}, α_{2}

B.

α_{1}, α_{4}

C.

α_{3}, α_{5}

D.

α_{1}, α_{3}, α_{4}

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5. 原点关于直线

\frac{x}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 4}{- 2}

的对称点为

A.

(- 4, 0, 4)

B.

(4, 0, 4)

C.

(- 4, 0, - 4)

D.

(4, 0, - 4)

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6. 点

M (1, 0, - 1)

到直线

L : {\begin{cases} x - y - z + 1 = 0, \\ x + y - 2 z = 0 \end{cases}

的距离为

A.

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}}

B.

\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}

C.

\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}

D.

\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}

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二、填空题（共 12 题），请把答案直接填写在答题纸上

7. 设区域

D = {(x, y) ∣ 1 ⩽ x^{2} + y^{2} ⩽ 4, x ⩾ 0, y ⩾ 0}

, 则二重积分

I = \iint_{D} \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x + y} d x d y =

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8. 由

x^{2} + y^{2} \leq z \leq 1

表示的立体图形的体积

V =

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9. 设向量

a = (2, 1, 2), \vec{b} = (4, - 1, 10), \vec{c} = \vec{b} - λ \hat{1}

, 且

\vec{a} ⊥ 1 \dot{c}

, 则

λ =

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10. 一质点在变力

F = (1 - x^{2}) y^{3} i - x^{3} (1 + y^{2}) j

的作用下从圆周

L : x^{2} + y^{2} = 1

上的任一点出发沿逆时针方向运动一周, 则变力

F

对质点所做的功等于

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11. 点

M_{0} (2, 2, 2)

关于直线

L : \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 4}{2} = z - 3

的对称点

M_{1}

的坐标为

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12. 已知

L : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{0} = \frac{2 z + 1}{λ}

与

π : x - y + z = 0

平行, 则常数

λ

的值为

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13. 设矢量

a, b

满足

| a + b | = | a - b |

, 若

a = (1, 2, 3), b = (1, 4, λ)

, 则

λ =

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14. 已知

F (x, y, z) = {(x^{2} + y^{2})}^{2} + z^{4} - y

(1) 若

x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{1}{4}, (x, y, z \neq 0)

，证明:

\frac{F_{x}^{'}}{2 x} + \frac{F_{y}^{'} + 1}{2 y} + \frac{F_{z}^{'}}{z} = 1 .

(2) 求

F (x, y, z) = 0

所围成立体区域的体积.

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15. 与向量

\vec{a} = (1, \sqrt{2}, - 1)

平行的单位向量是

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16. 设向量

\vec{a} = (3, - 1, - 2), \vec{b} = (1, 2, - 1)

, 则

2 \vec{a} \times 3 \vec{b} =

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17. 与平面

x - 2 y + z = 3

垂直的单位向量是

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18. 设向量

\vec{a} = (3, 1, - 2), \vec{b} = (1, - 2, 0)

, 则

\vec{a} \times \vec{b} =

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三、解答题（共 22 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

19. 计算定积分

\int_{0}^{a} \frac{d x}{x + \sqrt{a^{2} - x^{2}}}

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20. 已知

lim_{x \to \infty} {(\frac{x + c}{x - c})}^{x} = \int_{- \infty}^{c} t e^{2 t} d t

, 求

c

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21. 设区域

D : 0 ⩽ x ⩽ 2, | y | ⩽ x

, 函数

f (x, y) = max_{- 1 ⩽ t ⩽ 3} (t^{2} - 2 x t + y^{3}

), 计算二重积分

\iint_{D} f (x, y) d x d y

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22. 计算

\iint_{Σ} x d y d z + y d x d z + (z + 1) d x d y

, 其中

Σ

为

z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}

上侧.

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23. 求点

(2, 2, 0)

到曲面

x^{2} + y^{2} - 2 z = 0

的最短距离.

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24. 设

R^{m}

是

m

维实向量空间, 若

φ (\vec{x}) = ∥ \vec{x} ∥

满足:
(a)

\forall \vec{x} \in R^{m}, φ (\vec{x}) ⩾ 0

, 当且仅当

\vec{x} = \vec{0}

时取等;
(b)

\forall α \in R, \vec{x} \in R^{m}, φ (α \vec{x}) = α φ (\vec{x})

;
(c)

\forall \vec{x}, \vec{y} \in R^{m}, φ (\vec{x} + \vec{y}) ⩽ φ (\vec{x}) + φ (\vec{y})

.
则称

φ (\vec{x}) = ∥ \vec{x} ∥

是

R^{m}

上的范数, 证明:

(1)

\forall \vec{x} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}), ∥ \vec{x} ∥_{1} = \sum_{k = 1}^{m} | x_{k} |, ∥ \vec{x} ∥_{2} = {(\sum_{k = 1}^{m} x_{k}^{2})}^{\frac{1}{2}}

∥ \vec{x} ∥_{\infty} = max_{1 ⩽ k ⩽ m} | x_{k} |

是

R^{m}

上的范数;
(2)

φ (\vec{x}) = ∥ \vec{x} ∥

在

R^{m}

上是一致连续函数.
(3)设

∥ \cdot ∥

是

R^{m}

上的任意一个范数, 则

\forall \vec{x} \in R^{m}, \exists M_{1}, M_{2} > 0

;
使得:

M_{1} ∥ \vec{x} ∥_{1} ⩽ ∥ \vec{x} ∥ ⩽ M_{2} ∥ \vec{x} ∥_{1}

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25. ( I ) 设

f (x, y, z)

是连续函数, 当

t \to 0^{+}

时,

I (t) = ∭_{x^{2} + y^{2} + z^{2} t^{2}} f (x, y, z) d v

是否为无穷小量?如果是, 指出它的阶.
(II) 曲线

C

的方程为

{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, \\ x^{2} + y^{2} = x, \end{cases} z > 0

, 从上往下看

C

的方向是顺时针的, 求向量场

A = y^{2} i + z^{2} j + x^{2} k

沿

C

的环量.

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26. 设直角坐标空间中有两点

A (1, 1, 0), B (0, 2, 1)

.
(1)求经过

A B

且与坐标面

z = 0

垂直的平面方程;
(2)求经过

A B

的直线方程;
(3) 将直线

A B

绕

z

轴旋转一周, 求介于面

z = 0

与

z = 2

之间的旋转体体积.

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27. 已知空间的两条直线

l_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 3}{2}, l_{2} : \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 1}{1} .

(1) 证明

l_{1}

和

l_{2}

异面.
(2) 求

l_{1}

和

l_{2}

公垂线的标准方程.
(3) 求连接

l_{1}

上的任一点和

l_{2}

上的任一点线段中点的轨迹的一般方程，并判断其形状.

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28. 设

V_{1}, V_{2}

是数域

F

上

n

维线性空间

V

的二个子空间，且

\dim (V_{1}) + \dim (V_{2}) = \dim (V) = n .

证明: 必存在一个线性变换

σ

，使得

Im (σ) = V_{2}, Ker (σ) = V_{1} .

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29. 设

σ

是数域

K

上

n

维线性空间

V

上的线性变换. 如果

σ

的矩阵可以对角化，则对

σ

的任意一个不变子空间

M

，证明:
(1)

{σ |}_{M}

的矩阵也可以对角化.
(2) 存在

σ

的不变子空间

N

，使得

V = M \oplus N

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30. 已知

\vec{a} = \vec{i}, \vec{b} = \vec{j} - 2 \vec{k}, \vec{c} = 2 \vec{i} - 2 \vec{j} + \vec{k}

, 求一单位向量

\vec{m}

，使

\vec{m} ⊥ \vec{c}

，且

\vec{m}

与

\vec{a}, \vec{b}

共面。

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31. 设

A = {(a_{k j})}_{3 \times 3}

是3阶实方阵,

| A | \neq 0

, 记

D (x) = {(a_{k j} + x)}_{3 \times 3}

及

g (x) = \det D (x)

。（1）试求导数

g^{'} (x)

并证明:

g^{'} (0) = | A | α^{T} (A^{- 1}) α

, 其中向量

α^{T} = (1, 1, 1)

;
(2) 若

A = (\begin{array}{lll} 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 2 \end{array})

, 求

g^{'} (0)

。

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32. 设函数

f (x)

连续，

Σ

是球面:

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 ，且 a, b, c 是常数.

证明:

\iint_{Σ} f (a x + b y + c z) d S = 2 π \int_{- 1}^{1} f (\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} u) d u .

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33. 已知

\vec{a}, \vec{b}

是非零常向量, 且

| \vec{b} | = 1

以及

∠ (a, b) = \frac{π}{4}

, 求

lim_{x \to 0} \frac{| \vec{a} + \vec{b} x | - | \vec{a} |}{x}

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34. 设

Σ

为曲面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 (z ⩾ 0)

的上侧, 连续函数

f (x, y)

满足

f (x, y) = 2 (x - y)^{2} +

\iint_{Σ} x (z^{2} + e^{z}) d y d z + y (z^{2} + e^{z}) d z d x + [z f (x, y) - 2 e^{z}] d x d y

, 求

\iint_{Σ} f (x, y) d S

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35. 设函数

f (x)

在区间

[0, π]

上连续. 且满足

f (x) + \int_{0}^{x} t f (x - t) d t = x

, 区域

D

是由曲线

y =

f (x)

^{'} y = f (2 x)

y

成的平面图形.求

D

的面积及

D

绕

x

轴旋转一周所成旋转体的体积.

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36. 设

△ A B C

的三个顶点坐标分别为

A (3, 0, 2), B (5, 3, 1), C (0, - 1, 3)

, 求该三角形的面积.

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37. 求过点

(2, - 1, 3)

且与直线

L : \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z + 14}{- 1}

垂直相交的直线方程.

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38. 求曲面

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 21

上平行于平面

x + 4 y + 6 z = 1

的切平面方程.

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39. 求球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} (a > 0)

被平面

z = \frac{a}{4}

与

z = \frac{a}{2}

所夹部分的面积。

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40. 计算

\iint_{Σ} (x + y^{2} z) d y d z + (4 y + 1) d z d x + z d x d y

, 其中

Σ

为曲面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} (0 \leq z \leq 1)

的下侧。

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