一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x-y-4 z+1=0 \\ x+y-3=0\end{array}\right.$, 曲面 $z=x^2-y^2+z^2$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切平面П, 则 直线 $L$ 与平面 $\Pi$ 的位置关系是:
$\text{A.}$ $L \subset \Pi$
$\text{B.}$ $L / / \Pi$
$\text{C.}$ $L \perp \Pi$
$\text{D.}$ $L$ 与 斜交
直线 $L: \frac{x}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{7}$ 和平面 $\pi: 3 x-2 y+7 z-8=0$ 的位置关系是
$\text{A.}$ 直线 $L$ 平行于平面 $\pi$
$\text{B.}$ 直线 $L$ 在平面 $\pi$ 上
$\text{C.}$ 直线 $L$ 垂直于平面 $\pi$
$\text{D.}$ 直线 $L$ 与平面 $\pi$ 斜交
设 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-f(1,1)-2 x-y+3}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}=0$, 则 $z=f(x, y)$ 在 $(1,1)$ 点 沿 $\boldsymbol{l}=\{1,2\}$ 方向的方向导数为
$\text{A.}$ $-\frac{4}{\sqrt{5}}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{\sqrt{5}}$
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 1
设向量组 ( I): $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 均为 4 维列向量, $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5\right)$, 若 $\eta_1=(-1,1,0,0,0)$, $\eta_2=(0,1,3,1,0), \quad \eta_3=(1,0,5,1,1)^{\mathrm{T}}$ 是齐次方程组 $A X=0$ 的一个基础解系, 则向量组 ( I) 的一个极大无关组 是 $\left(\begin{array}{l}\text { 。 }\end{array}\right.$
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_4$
$\text{C.}$ $\alpha_3, \alpha_5$
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$
原点关于直线 $\frac{x}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-4}{-2}$ 的对称点为
$\text{A.}$ $(-4,0,4)$
$\text{B.}$ $(4,0,4)$
$\text{C.}$ $(-4,0,-4)$
$\text{D.}$ $(4,0,-4)$
点 $M(1,0,-1)$ 到直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x-y-z+1=0, \\ x+y-2 z=0\end{array}\right.$ 的距离为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}$
$\text{D.}$ $\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}$
二、填空题 （共 12 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$, 则二重积分 $I=\iint_D \frac{x \sqrt{x^2+y^2}}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
由 $x^2+y^2 \leq z \leq 1$ 表示的立体图形的体积 $V=$
设向量 $a=(2,1,2), \vec{b}=(4,-1,10), \vec{c}=\vec{b}-\lambda \hat{1}$, 且 $\vec{a} \perp \mathbf{1} \dot{c}$, 则 $\lambda=$
一质点在变力 $\boldsymbol{F}=\left(1-x^2\right) y^3 \boldsymbol{i}-x^3\left(1+y^2\right) \boldsymbol{j}$ 的作用下从圆周 $L: x^2+y^2=1$ 上的任一点出 发沿逆时针方向运动一周, 则变力 $\boldsymbol{F}$ 对质点所做的功等于
点 $M_0(2,2,2)$ 关于直线 $L: \frac{x-1}{3}=\frac{y+4}{2}=z-3$ 的对称点 $M_1$ 的坐标为
已知 $L: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{0}=\frac{2 z+1}{\lambda}$ 与 $\pi: x-y+z=0$ 平 行, 则常数 $\boldsymbol{\lambda}$ 的值为
设矢量 $a, b$ 满足 $|a+b|=|a-b|$, 若 $a=(1,2,3), b=(1,4, \lambda)$, 则 $\lambda=$ ?
已知 $\boldsymbol{F}(x, y, z)=\left(x^2+y^2\right)^2+z^4-y$
(1) 若 $x^2+y^2+z^2=\frac{1}{4},(x, y, z \neq 0)$ ，证明:
$$
\frac{\boldsymbol{F}_x^{\prime}}{2 x}+\frac{F_y^{\prime}+1}{2 y}+\frac{\boldsymbol{F}_z^{\prime}}{z}=1 .
$$
(2) 求 $\boldsymbol{F}(x, y, z)=0$ 所围成立体区域的体积.
与向量 $\vec{a}=(1, \sqrt{2},-1)$ 平行的单位向量是
设向量 $\vec{a}=(3,-1,-2), \vec{b}=(1,2,-1)$, 则 $2 \vec{a} \times 3 \vec{b}=$
设向量 $\vec{a}=(3,1,-2), \vec{b}=(1,-2,0)$, 则 $\vec{a} \times \vec{b}=$
三、解答题 （ 共 22 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算定积分 $\int_0^a \frac{\mathrm{d} x}{x+\sqrt{a^2-x^2}}$.
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+c}{x-c}\right)^x=\int_{-\infty}^c t e^{2 t} \mathrm{~d} t$, 求 $c$.
设区域 $D: 0 \leqslant x \leqslant 2,|y| \leqslant x$, 函数 $f(x, y)=\max _{-1 \leqslant t \leqslant 3}\left(t^2-2 x t+y^3\right.$ ), 计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
计算 $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $\Sigma$ 为 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 上侧.
求点 $(2,2,0)$ 到曲面 $x^2+y^2-2 z=0$ 的最短距离.
设 $\mathbb{R}^m$ 是 $m$ 维实向量空间, 若 $\varphi(\vec{x})=\|\vec{x}\|$ 满足:
(a) $\forall \vec{x} \in \mathbb{R}^m, \varphi(\vec{x}) \geqslant 0$, 当且仅当 $\vec{x}=\overrightarrow{0}$ 时取等;
(b) $\forall \alpha \in \mathbb{R}, \quad \vec{x} \in \mathbb{R}^m, \quad \varphi(\alpha \vec{x})=\alpha \varphi(\vec{x})$;
(c) $\forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^m, \varphi(\vec{x}+\vec{y}) \leqslant \varphi(\vec{x})+\varphi(\vec{y})$.
则称 $\varphi(\vec{x})=\|\vec{x}\|$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的范数, 证明:
(1) $\forall \vec{x}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_m\right), \quad\|\vec{x}\|_1=\sum_{k=1}^m\left|x_k\right|, \quad\|\vec{x}\|_2=\left(\sum_{k=1}^m x_k^2\right)^{\frac{1}{2}}$,
$\|\vec{x}\|_{\infty}=\max _{1 \leqslant k \leqslant m}\left|x_k\right|$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的范数;
(2) $\varphi(\vec{x})=\|\vec{x}\|$ 在 $\mathbb{R}^m$ 上是一致连续函数.
(3)设 $\|\cdot\|$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的任意一个范数, 则 $\forall \vec{x} \in \mathbb{R}^m, \exists M_1, M_2>0$;
使得: $M_1\|\vec{x}\|_1 \leqslant\|\vec{x}\| \leqslant M_2\|\vec{x}\|_1$.
( I ) 设 $f(x, y, z)$ 是连续函数, 当 $t \rightarrow 0^{+}$时, $I(t)=\iiint_{x^2+y^2+z^2 t^2} f(x, y, z) \mathrm{d} v$ 是 否为无穷小量?如果是, 指出它的阶.
(II) 曲线 $C$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=1, \\ x^2+y^2=x,\end{array} z>0\right.$, 从上往下看 $C$ 的方向是顺时针的, 求向 量场 $\boldsymbol{A}=y^2 \boldsymbol{i}+z^2 \boldsymbol{j}+x^2 \boldsymbol{k}$ 沿 $C$ 的环量.
设直角坐标空间中有两点 $A(1,1,0), B(0,2,1)$.
(1)求经过 $A B$ 且与坐标面 $z=0$ 垂直的平面方程;
(2)求经过 $A B$ 的直线方程;
(3) 将直线 $A B$ 绕 $z$ 轴旋转一周, 求介于面 $z=0$ 与 $z=2$ 之间的旋转体体积.
已知空间的两条直线
$$
l_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+3}{2}, l_2: \frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+1}{1} \text {. }
$$
(1) 证明 $l_1$ 和 $l_2$ 异面.
(2) 求 $l_1$ 和 $l_2$ 公垂线的标准方程.
(3) 求连接 $l_1$ 上的任一点和 $l_2$ 上的任一点线段中点的轨迹的一般方 程，并判断其形状.
设 $V_1, V_2$ 是数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的二个子空间，且
$$
\operatorname{dim}\left(V_1\right)+\operatorname{dim}\left(V_2\right)=\operatorname{dim}(V)=n .
$$
证明: 必存在一个线性变换 $\sigma$ ，使得
$$
\operatorname{Im}(\sigma)=V_2, \operatorname{Ker}(\sigma)=V_1 .
$$
设 $\sigma$ 是数域 $\mathrm{K}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换. 如果 $\sigma$ 的矩阵 可以对角化，则对 $\sigma$ 的任意一个不变子空间 $M$ ，证明:
(1) $\left.\sigma\right|_M$ 的矩阵也可以对角化.
(2) 存在 $\sigma$ 的不变子空间 $N$ ，使得 $V=M \oplus N$.
已知 $\vec{a}=\vec{i}, \vec{b}=\vec{j}-2 \vec{k}, \vec{c}=2 \vec{i}-2 \vec{j}+\vec{k}$, 求一单位向量 $\vec{m}$ ，使 $\vec{m} \perp \vec{c}$ ，且 $\vec{m}$ 与 $\vec{a}, \vec{b}$ 共面。
设 $A=\left(a_{k j}\right)_{3 \times 3}$ 是3阶实方阵, $|A| \neq 0$, 记 $D(x)=\left(a_{k j}+x\right)_{3 \times 3}$及 $g(x)=\operatorname{det} D(x)$ 。（1）试求导数 $g^{\prime}(x)$ 并证明: $g^{\prime}(0)=|A| \alpha^T\left(A^{-1}\right) \alpha$, 其中向量 $\alpha^T=(1,1,1)$;
(2) 若 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right)$, 求 $g^{\prime}(0)$ 。
设函数 $f(x)$ 连续， $\Sigma$ 是球面:
$$
x^2+y^2+z^2=1 \text { ，且 } a, b, c \text { 是常数. }
$$
证明:
$$
\iint_{\Sigma} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} S=2 \pi \int_{-1}^1 f\left(\sqrt{a^2+b^2+c^2} u\right) \mathrm{d} u .
$$
已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是非零常向量, 且 $|\vec{b}|=1$ 以及 $\angle(a, b)=\frac{\pi}{4}$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|\vec{a}+\vec{b} x|-|\vec{a}|}{x}$.
设 $\Sigma$ 为曲面 $x^2+y^2+z^2=1(z \geqslant 0)$ 的上侧, 连续函数 $f(x, y)$ 满足 $f(x, y)=2(x-y)^2+$ $\iint_{\Sigma} x\left(z^2+\mathrm{e}^z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(z^2+\mathrm{e}^z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left[z f(x, y)-2 \mathrm{e}^z\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 求 $\iint_{\Sigma} f(x, y) \mathrm{d} S$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上 连续. 且满足 $f(x)+\int_0^x t f(x-t) \mathrm{d} t=x$, 区域 $D$ 是由曲线 $y=$ $f(x)$ ' $^{\prime} y=f(2 x)$ | $y$ 成的平面图形.求 $D$ 的面积及 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积.
设 $\triangle A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A(3,0,2), B(5,3,1), C(0,-1,3)$, 求该三角形的面积.
求过点 $(2,-1,3)$ 且与直线 $L: \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+14}{-1}$ 垂直相交的直线方程.
求曲面 $x^2+2 y^2+3 z^2=21$ 上平行于平面 $x+4 y+6 z=1$ 的切平面方程.
求球面 $x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)$ 被平面 $z=\frac{a}{4}$ 与 $z=\frac{a}{2}$ 所夹部分的面积。
计算 $\iint_{\Sigma}\left(x+y^2 z\right) d y d z+(4 y+1) d z d x+z d x d y$, 其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}(0 \leq z \leq 1)$ 的下侧。