设区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$, 则二重积分 $I=\iint_D \frac{x \sqrt{x^2+y^2}}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
【答案】 $\frac{7 \pi}{12}$.

【解析】 积分区域关于直线 $y=x$ 对称, 由轮换对称性, 有
$$
I=\iint_D \frac{x \sqrt{x^2+y^2}}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_D \frac{y \sqrt{x^2+y^2}}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y,
$$
所以
$$
\begin{aligned}
2 I &=\iint_D \frac{x \sqrt{x^2+y^2}}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\iint_D \frac{y \sqrt{x^2+y^2}}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
&=\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_1^2 r \cdot r \mathrm{~d} r=\frac{7 \pi}{6},
\end{aligned}
$$
于是 $I=\frac{7 \pi}{12}$.
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