2022高等数学(微积分)下册摸底测试与答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x-y-4 z+1=0 \\ x+y-3=0\end{array}\right.$, 曲面 $z=x^2-y^2+z^2$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切平面П, 则直线 $L$ 与平面 $\Pi$ 的位置关系是:

$ \text{A.}$ $L \subset \Pi$ $ \text{B.}$ $L / / \Pi$ $ \text{C.}$ $L \perp \Pi$ $ \text{D.}$ $L$ 与斜交

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答案：

解析：

$L$ 的方向向量 $\vec{s}=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ 1 & -1 & -4 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right|=\{4,-4,2\}$, 曲面 $F(x, y, z)=x^2-y^2+z^2-z=0$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切平面 $\Pi$ 的法向荲 $\bar{n}=\left\{\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}\right\}_{(1,1,1)}=\{2,-2,1\}$ 。由于 $\bar{n} / / \vec{s}$, 因此 $L \perp \Pi$ 。

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