共创考研辅导中心全国硕士研究生入学统一考试模拟试卷 -Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-f(1,1)-2 x-y+3}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}=0$, 则 $z=f(x, y)$ 在 $(1,1)$ 点沿 $\boldsymbol{l}=\{1,2\}$ 方向的方向导数为

$ \text{A.}$ $-\frac{4}{\sqrt{5}}$ $ \text{B.}$ $\frac{4}{\sqrt{5}}$ $ \text{C.}$ -1 $ \text{D.}$ 1

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答案：

解析：

由已知 $f_x^{\prime}(1,1)=2, f_y^{\prime}(1,1)=1, \boldsymbol{l}_0=\left\{\frac{1}{\sqrt{5}} \frac{2}{\sqrt{5}}\right\}$, 所以 $\left.\frac{\partial z}{\partial \boldsymbol{l}}\right|_{(1,1)}=\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$.

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