已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+c}{x-c}\right)^x=\int_{-\infty}^c t e^{2 t} \mathrm{~d} t$, 求 $c$.
【答案】 【参考解析】 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+c}{x-c}\right)^x=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{2 c}{x-c}\right)^{\frac{x-c}{2 c}}\right]^{2 c x}$
$$
\begin{gathered}
=e^{2 c} \\
\int_{-\infty}^c t e^{2 t} \mathrm{~d} t=\left.\frac{1}{2} t e^{2 t}\right|_{-\infty} ^c-\frac{1}{2} \int_{-\infty}^c e^{2 t} \mathrm{~d} t \\
=\frac{1}{2} c e^{2 c}-\left.\frac{1}{4} e^{2 t}\right|_{-\infty} ^c=\left(\frac{c}{2}-\frac{1}{4}\right) e^{2 c}
\end{gathered}
$$
所以 $\frac{c}{2}-\frac{1}{4}=1$ ,由此可得 $c=\frac{5}{2}$.


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