设 $\mathbb{R}^m$ 是 $m$ 维实向量空间, 若 $\varphi(\vec{x})=\|\vec{x}\|$ 满足:
(a) $\forall \vec{x} \in \mathbb{R}^m, \varphi(\vec{x}) \geqslant 0$, 当且仅当 $\vec{x}=\overrightarrow{0}$ 时取等;
(b) $\forall \alpha \in \mathbb{R}, \quad \vec{x} \in \mathbb{R}^m, \quad \varphi(\alpha \vec{x})=\alpha \varphi(\vec{x})$;
(c) $\forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^m, \varphi(\vec{x}+\vec{y}) \leqslant \varphi(\vec{x})+\varphi(\vec{y})$.
则称 $\varphi(\vec{x})=\|\vec{x}\|$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的范数, 证明:
(1) $\forall \vec{x}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_m\right), \quad\|\vec{x}\|_1=\sum_{k=1}^m\left|x_k\right|, \quad\|\vec{x}\|_2=\left(\sum_{k=1}^m x_k^2\right)^{\frac{1}{2}}$,
$\|\vec{x}\|_{\infty}=\max _{1 \leqslant k \leqslant m}\left|x_k\right|$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的范数;
(2) $\varphi(\vec{x})=\|\vec{x}\|$ 在 $\mathbb{R}^m$ 上是一致连续函数.
(3)设 $\|\cdot\|$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的任意一个范数, 则 $\forall \vec{x} \in \mathbb{R}^m, \exists M_1, M_2>0$;
使得: $M_1\|\vec{x}\|_1 \leqslant\|\vec{x}\| \leqslant M_2\|\vec{x}\|_1$.