设 $\Sigma$ 为曲面 $x^2+y^2+z^2=1(z \geqslant 0)$ 的上侧, 连续函数 $f(x, y)$ 满足 $f(x, y)=2(x-y)^2+$ $\iint_{\Sigma} x\left(z^2+\mathrm{e}^z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(z^2+\mathrm{e}^z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left[z f(x, y)-2 \mathrm{e}^z\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 求 $\iint_{\Sigma} f(x, y) \mathrm{d} S$.