题号:
5673
题型:
填空题
来源:
2024考研数学第一轮模拟考试试题与答案解析（数一）
一质点在变力 $\boldsymbol{F}=\left(1-x^2\right) y^3 \boldsymbol{i}-x^3\left(1+y^2\right) \boldsymbol{j}$ 的作用下从圆周 $L: x^2+y^2=1$ 上的任一点出 发沿逆时针方向运动一周, 则变力 $\boldsymbol{F}$ 对质点所做的功等于
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答案：
答案：
$-\frac{3 \pi}{2}$
解析：
变力 $\boldsymbol{F}$ 对质点所做的功 $W=\oint_L\left(1-x^2\right) y^3 \mathrm{~d} x-x^3\left(1+y^2\right) \mathrm{d} y$. 利用格林公式, 得
$$
\begin{aligned}
W & =-3 \iint_{x^2+y^2 \leqslant 1}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-3 \int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1 r^3 \mathrm{~d} r \\
& =-6 \pi \int_0^1 r^3 \mathrm{~d} r=-\frac{3 \pi}{2} .
\end{aligned}
$$
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