2022《高等数学A》下册期末考试模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

计算 $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $\Sigma$ 为 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 上侧.

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答案：

解: 补平面 $\Sigma_1: y=0, x^2+y^2 \leq 1$, 方向朝下由高斯公式:
$$
\begin{gathered}
\iint_{\Sigma+\Sigma_1} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega} 3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
=3 \cdot \frac{2}{3} \pi=2 \pi \\
\iint_{\Sigma_1} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{x y}} 1 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\pi \\
\text { 原式 }=2 \pi-(-\pi)=3 \pi
\end{gathered}
$$
注: 假如没有补平面直接用高斯公式计算出 $2 \pi$ 的, 可以得 4 分。

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