2021高等数学《微积分》摸底测试与答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

求点 $(2,2,0)$ 到曲面 $x^2+y^2-2 z=0$ 的最短距离.

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答案：

解依题意 $d(x, y, z)=\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2+z^2}$

目标函数 $s(x, y, z)=(x-2)^2+(y-2)^2+z^2$

约束条件 $\phi(x, y, z)=x^2+y^2-2 z=0$

$L(x, y, z, \lambda)=(x-2)^2+(y-2)^2+z^2+\lambda\left(x^2+y^2-2 z\right)$

$$
\text { 令 }\left\{\begin{array}{l}
L_x=2(x-2)+2 \lambda x=0 \\
L_y=2(y-2)+2 \lambda y=0 \\
L_z=2 z-2 \lambda=0 \\
L_\lambda=x^2+y^2-2 z=0
\end{array}\right.
$$
得 $x=1, y=1, z=1$
最短距离 $d(1,1,1)=\sqrt{3}$

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