设区域 $D: 0 \leqslant x \leqslant 2,|y| \leqslant x$, 函数 $f(x, y)=\max _{-1 \leqslant t \leqslant 3}\left(t^2-2 x t+y^3\right.$ ), 计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
【答案】 先求 $f(x, y)=\max _{-1 \leqslant 3 \leqslant 3}\left(t^2-2 x t+y^3\right)$ 的表达式, 设 $g(t)=t^2-2 x t+y^3,-1 \leqslant t \leqslant$ $3, g^{\prime}(t)=2 t-2 x=0 \Rightarrow t=x, g^{\prime \prime}(t)=2 > 0$, 故 $g(t)=t^2-2 x t+y^3,-1 \leqslant t \leqslant 3$ 在 $t=x$ 处取到最小值,最大值只能在区间端点取到,
$$
\begin{gathered}
g(-1)=1+2 x+y^3, g(3)=9-6 x+y^3, \\
g(3)-g(-1)=8-8 x=0 \Rightarrow x=1,
\end{gathered}
$$

若 $x \leqslant 1, g(t)$ 的最大值为 $g(3)=9-6 x+y^3$; 若 $x > 1, g(t)$ 的最大值为 $g(-1)=1+$ $2 x+y^3$, 故
$$
\begin{gathered}
f(x, y)=\max _{-1 \leqslant t \leqslant 3}\left(t^2-2 x t+y^3\right)=\left\{\begin{array}{l}
9-6 x+y^3, x \leqslant 1, \\
1+2 x+y^3, x > 1 .
\end{array}\right. \\
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{-x}^x\left(9-6 x+y^3\right) \mathrm{d} y+\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_{-x}^x\left(1+2 x+y^3\right) \mathrm{d} y=5+\frac{37}{3}=\frac{52}{3} .
\end{gathered}
$$


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