2023湖南长郡中心高三第三次月考数学试卷

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2023湖南长郡中心高三第三次月考数学试卷

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 记集合

M = {x ∣ x^{2} > 4}, N = {x ∣ x^{2} - 4 x ⩽ 0}

, 则

M \cap N =

A.

{x ∣ 2 < x ⩽ 4}

B.

{x ∣ x ⩾ 0

或

x < - 2}

C.

{x ∣ 0 ⩽ x < 2}

D.

{x ∣ - 2 < x ⩽ 4}

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2. 已知

f (x), g (x)

分别是定义在

R

上的偶函数和奇函数, 且

f (x) -

g (x) = x^{3} + x^{2} + 1

, 则

f (1) + g (1) =

A.

- 3

B.

- 1

C.

1

D.

3

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3. 已知向量

a = (- 1, 2)

, 点

A (- 2, 1)

, 若

\vec{A B} / / a

且

| \vec{A B} | = 3 \sqrt{5}, O

为坐标原点, 则

\vec{O B}

的坐标为

A.

(1, - 5)

B.

(- 5, 7)

C.

(1, - 5)

或

(5, - 7)

D.

(1, - 5)

或

(- 5, 7)

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4. 已知平面

α

, 直线

l, m

, 若

m \subset α

, 则 “

l / / m

” 是 “

l / / α

” 的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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5. 如图, 边长为 2 的正方形

A B C D

中, 点

E, F

分别是边

A B, B C

的中点, 将

△ A E D, △ E B F, △ F C D

分别沿

D E, E F, F D

折起, 使

A, B, C

三点重合于点

A^{'}

, 若四面体

A^{'} E F D

的四个顶点在同一个球面上, 则该球的半径为

A.

\sqrt{2}

B.

\frac{\sqrt{6}}{2}

C.

\frac{\sqrt{11}}{2}

D.

\frac{\sqrt{5}}{2}

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6. 设

a = \sin 7

, 则

A.

a^{2} < 2^{a} < \log_{2} | a |

B.

\log_{2} | a | < 2^{a} < a^{2}

C.

a^{2} < \log_{2} | a | < 2^{a}

D.

\log_{2} | a | < a^{2} < 2^{a}

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7. 将函数

f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - π < φ < 0)

的图象上所有点向右平移

\frac{π}{6}

个单位长度, 得到如图所示的函数

y = g (x)

的图象, 则

f (0) + f (\frac{π}{3}) =

A.

B.

C.

D.

-1

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8. 已知:

A (- 2, 0), B (2, 0), C (0, 2), E (- 1, 0), F (1, 0)

, 一束光线从

F

点出发射到

B C

上的

D

点经

B C

反射后, 再经

A C

反射, 落到线段

A E

上 (不含端点). 则

F D

斜率的取值范围是

A.

(- \infty, - 2)

B.

(0, + \infty)

C.

(1, + \infty)

D.

(4, + \infty)

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二、多选题（共 4 题），每题有多个选项正确

9. 已知

a, b, c

为非零实数, 且

a - b ⩾ 0

, 则下列结论正确的有

A.

a + c ⩾ b + c

B.

- a ⩽ - b

C.

a^{2} ⩾ b^{2}

D.

\frac{1}{a b^{2}} ⩾ \frac{1}{b a^{2}}

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10. 设

ω > 0

, 函数

f (x) = - \sqrt{3} \sin ω x + \cos ω x

在区间

(0, \frac{π}{2}]

上有零点, 则

ω

的值可以是

A.

\frac{1}{6}

B.

\frac{5}{6}

C.

\frac{1}{3}

D.

\frac{2}{3}

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11. 如图,

P_{1}

是一块半径为 1 的圆形纸板, 在

P_{1}

的左下端剪去一个半径为

\frac{1}{2}

的半圆后得到图形

P_{2}

, 然后依次剪去一个更小的半圆 (其直径为前一个前掉半圆的半径) 得图形

P_{3}, P_{4}, \dots, P_{n}, \dots

, 记纸板

P_{n}

的周长为

L_{n}

, 面积为

S_{n}

, 则下列说法正确的是

A.

L_{3} = \frac{7}{4} π + \frac{1}{2}

B.

S_{3} = \frac{11}{32} π

C.

L_{n} = π [2 - {(\frac{1}{2})}^{n - 1}] + {(\frac{1}{2})}^{n + 1}

D.

S_{n + 1} = S_{n} - \frac{π}{2^{2 n + 1}}

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12. 已知

a > b, c > d, \frac{e^{a}}{a + 1} = \frac{e^{b}}{b + 1} = 1.01, (1 - c) e^{c} = (1 - d) e^{d} = 0.99

, 则

A.

a + b > 0

B.

c + d > 0

C.

a + d > 0

D.

b + c > 0

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三、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 已知

i

是虚数单位, 如图, 在复平面内, 点

A

对应的复数为

z_{1}

, 若

\frac{z_{2}}{z_{1}} =

i

, 则

z_{2} =

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14. 已知等边三角形

A B C

的边长为 6 , 点

P

满足

3 \vec{P A} + 2 \vec{P B} + \vec{P C} = 0

, 则

| \vec{P A} | =

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15. 已知数列

{a_{n}}

的前

n

项和

S_{n}

, 对任意

n \in N^{*}, S_{n} = (- 1)^{n} a_{n} + \frac{1}{2^{n}} + n - 3

且

(a_{n + 1} - p) (a_{n} - p) < 0

恒成立, 则实数

p

的取值范围是

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四、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. 如图, 多面体

A B C D E F

中, 底面

A B C D

为正方形,

D E ⊥

平面

A B C D

C F / / D E

, 且

A B = D E = 2, C F = 1, G

为棱

B C

的中点,

H

为棱

D E

上的动点, 有下列结论:

(1) 当

H

为

D E

的中点时,

G H / /

平面

A B E

;
(2) 存在点

H

, 使得

G H ⊥ A E

;
(3)三棱雉

B - G H F

的体积为定值;
(4) 三棱雉

E - B C F

的外接球的表面积为

14 π

.
其中正确的结论序号为（　　） (填写所有正确结论的序号)

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17. 已知等差数列

{a_{n}}

前三项的和为

- 9

, 前三项的积为

- 15

.
(1) 求等差数列

{a_{n}}

的通项公式;
(2) 若

{a_{n}}

为递增数列, 求数列

{| a_{n} |}

的前

n

项和

S_{n}

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18. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 其外接圆的半径为

\sqrt{3}

, 且满足

4 \sqrt{3} \sin B \cos C = 2 a - c

.
(1)求角

B

;
(2) 若

A C

边上的中线长为

\frac{5}{2}

, 求

△ A B C

的面积.

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19. 2022 年 9 月 28 日晩, 中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中, 又一次以

3 : 0

的比分酣畅淋漓地战胜了老对手日本女排, 冲上了热搜榜第八位, 令国人振奋! 同学们, 你们知道排球比赛的规则和积分制吗? 其规则是: 每场比赛采用 “ 5 局 3 胜制” (即有一支球队先胜 3 局即获胜, 比赛结束). 比赛排名采用积分制, 积分规则如下: 比赛中, 以 3 : 0 或

3 : 1

取胜的球队积 3 分, 负队积 0 分; 以

3 : 2

取胜的球队积 2 分, 负队积 1 分. 已知甲、乙两队比赛, 甲队每局获胜的概率为

\frac{2}{3}

.
(1) 如果甲、乙两队比赛 1 场, 求甲队的积分

X

的概率分布列和数学期望;
(2)如果甲、乙两队约定比赛 2 场, 求两队积分相等的概率.

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20. 如图, 在几何体

A B C D E

中, 底面

A B C

是以

A C

为斜边的等腰直角三角形. 已知平面

A B C ⊥

平面

A C D

, 平面

A B C ⊥

平面

B C E, D E / /

平面

A B C, A D ⊥ D E

(1)证明:

D E ⊥

平面

A C D

;
(2)若

A C = 2 C D = 2

, 设

M

为棱

B E

的中点, 求当几何体

A B C D E

的体积取最大值时

A M

与

C D

所成角的正切值.

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21. 如图所示, 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1

与直线

l : \frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1

. 点

P

在直线

l

上, 由点

P

引椭圆

C

的两条切线

P A, P B

, 点

A, B

为切点,

O

是坐标原点.

(1) 若点

P

为直线

l

与

y

轴的交点,求

△ P A B

的面积

S

;
(2)若

O D ⊥ A B, D

为垂足, 求证: 存在定点

Q

, 使得

| D Q |

为定值.

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22. 已知函数

f (x) = x e^{n x} - n x (n \in N^{*}

且

n ⩾ 2)

的图象与

x

轴交于

P, Q

两点, 且点

P

在点

Q

的左侧.
(1) 求点

P

处的切线方程

y = g (x)

, 并证明:

x ⩾ 0

时,

f (x) ⩾ g (x)

.
(2) 若关于

x

的方程

f (x) = t

(

t

为实数) 有两个正实根

x_{1}, x_{2}

, 证明:

| x_{1} - x_{2} | < \frac{2 t}{n \ln n} + \frac{\ln n}{n}

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