如图所示, 已知椭圆 $C: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ 与直线 $l: \frac{x}{6}+\frac{y}{3}=1$. 点 $P$ 在 直线 $l$ 上, 由点 $P$ 引椭圆 $C$ 的两条切线 $P A, P B$, 点 $A, B$ 为切点, $O$ 是 坐标原点.

(1) 若点 $P$ 为直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点,求 $\triangle P A B$ 的面积 $S$;
(2)若 $O D \perp A B, D$ 为垂足, 求证: 存在定点 $Q$, 使得 $|D Q|$ 为定值.
【答案】 (1) 由题意知 $P(0,3)$, 过点 $P$ 与椭圆相切的直线料率存在, 设切线方程为 $y=k x+3$, 联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+3, \\ x^2+2 y^2=6,\end{array}\right.$ 可得 $\left(2 k^2+1\right) x^2+12 k x+12=0,(*)$ 由 $\Delta=144 k^2-48\left(2 k^2+1\right)=48\left(k^2-1\right)=0$,

可得 $k=\pm 1$,
即忉线方程为 $y=\pm x+3$, 所以, $P A \perp P B$,
将 $k=1$ 代入方程 $(*)$ 可得 $x^2+4 x+4=0$, 可得 $x=-2$, 此时 $y=1$,
不妨设点 $A(-2,1)$, 同理可得点 $B(2,1), \mid P A=P B=\sqrt{ } 4+(1-3)^2=2 \sqrt{2}$,
因此, $S=\frac{1}{2}|P A| \cdot P B \mid=4$.
(2) 证明: 先证明出椭圆 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ 在其上一点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线方程为 $\frac{x_0 x}{6}+\frac{y_0 y}{3}=1$,
因为点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ 上, 则 $x_0^2+2 y_0^2=6$,
联立 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x_0 x}{6}+\frac{y_0 y}{3}=1, \\ \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1,\end{array}\right.$ 消去 $y$ 可得 $\frac{\left(x_0^2+2 y_0^2\right) x^2}{36}-\frac{x_0 x}{3}+1-\frac{y_0^2}{3}=0$,
整理得 $x^2-2 x_0 x+x_0^2=0$, 即 $\left(x-x_0\right)^2=0$, 解得 $x=x_0$,
因此, 椭圆 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ 在其上一点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线方程为 $\frac{x_0 x}{6}+\frac{y_0 y}{3}=1$.
设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 则切线 $P A$ 的方程为 $\frac{x_1 x}{3}+\frac{y_1 y}{6}=1$, 切线 $P B$ 的方程为 $\frac{x_2 x}{3}+\frac{y_2 y}{6}=1$.
设 $P(m, n)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}\frac{m x_1}{6}+\frac{n y_1}{3}=1, \\ \ \frac{m x_2}{6}+\frac{n y_2}{3}=1 \text {, }\end{array}\right.$

所以, 点 $A, B$ 的坐标满足方程 $m x+2 n y-6=0$, 所以, 直线 $A B$ 的方程为 $m x+2 n y-6=0$, 因为点 $P(m, n)$ 在直线 $\frac{x}{6}+\frac{y}{3}=1$ 上, 则 $m+2 n=6$, 则 $2 n=6-m$,
所以, 直线 $A B$ 的方程可表示为 $m x+(6-m) y-6=0$, 即 $m(x-y)+6(y-1)=0$, 由 $\left\{\begin{array}{l}x-y=0, \\ y-1=0,\end{array}\right.$ 可得 $\left\{\begin{array}{l}x=1, \\ y=1,\end{array}\right.$ 故直线 $A B$ 过定点 $T(1,1)$,
因为 $O D \perp A B$, 所以,点 $D$ 在以 $O T$ 为直径的圆上,
当点 $Q$ 为线段 $O T$ 的中点时, $D Q\left|=\frac{1}{2} O T\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 此时点 $Q$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$.
故存在点 $Q\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$, 使得 $D Q \mid$ 为定值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.


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