在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 其外接圆的半 径为 $\sqrt{3}$, 且满足 $4 \sqrt{3} \sin B \cos C=2 a-c$.
(1)求角 $B$;
(2) 若 $A C$ 边上的中线长为 $\frac{5}{2}$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
【答案】 (1) 由正弦定理 $a=2 R \sin A, b=2 R \sin B, c=2 R \sin C$ 得: $4 \sqrt{3} \sin B \cos C=4 \sqrt{3} \sin A-2 \sqrt{3} \sin C$

即 $2 \sqrt{3} \sin B \cos C=2 \sqrt{3} \sin (B+C)-\sqrt{3} \sin C$, 即 $2 \sqrt{3} \sin C \cos B=\sqrt{3} \sin C$, 因为 $\sin C \neq 0$,

化简得 $\cos B=\frac{1}{2}, \because B \in(0, \pi), \therefore B=60^{\circ}$.


(2) 设 $A C$ 边上的中线为 $B D$, 则 $\overrightarrow{B D}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C})$, 所以 $\overrightarrow{B D}^2=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{B A}^2+\overrightarrow{B C}^2+2 \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}\right)$,
$\left |\overrightarrow{ B D}\right|^2=\frac{1}{4}\left(\left|\overrightarrow{B A}{ }^2+\overrightarrow{B C}\right|^2+2 \overrightarrow{B A}|\cdot| \overrightarrow{B C} \mid \cos B\right)$, 即有 $\frac{25}{4}=\frac{1}{4}\left(a^2+c^2+a c\right) ... (1)$

又 $b=2 R \sin B=3$, 由余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2 a c \cos B$ 得 $9=a^2+c^2-a c ... (2) $,

由(1)(2)得 $a c=8$,

所以 $S_{\triangle A B C}={ }_2^1 a c \sin B=2 \sqrt{3}$.


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填空题 来源:2023广东省高三上第一次联考(新高考)数学模拟考试
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