已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 前三项的和为 $-9$, 前三项的积为 $-15$.
(1) 求等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $\left\{a_n\right\}$ 为递增数列, 求数列 $\left\{\left|a_n\right|\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.
【答案】 (1) 设公差为 $d$, 则依题意得 $a_2=-3$,
则 $a_1=-3-d, a_3=-3+d$,
$\therefore(-3-d)(-3)(-3+d)=-15$,得 $d^2=4, d=\pm 2$,
$\therefore a_n=-2 n+1$ 或 $a_n=2 n-7$.
(2) 由题意得 $a_n=2 n-7$, 所以 $\left|a_n\right|=\left\{\begin{array}{l}7-2 n, n \leqslant 3, \\ 2 n-7, n \geqslant 4,\end{array}\right.$
(1) $n \leqslant 3$ 时, $S_n=-\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)=\frac{5+(7-2 n)}{2} n=6 n-n^2$;
(2) $n \geqslant 4$ 时, $S_n=-a_1-a_2-a_3+a_4+\cdots+a_n=-2\left(a_1+a_2+a_3\right)+\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)=18-6 n+n^2$.
综上, 数列 $\left\{\left|a_n\right|\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=\left\{\begin{array}{l}-n^2+6 n, n \leqslant 3, \\ n^2-6 n+18, n \geqslant 4 \text {. }\end{array}\right.$


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