如图, 多面体 $A B C D E F$ 中, 底面 $A B C D$ 为正方形, $D E \perp$ 平面 $A B C D$, $C F / / D E$, 且 $A B=D E=2, C F=1, G$ 为棱 $B C$ 的中点, $H$ 为棱 $D E$ 上的 动点, 有下列结论:

(1) 当 $H$ 为 $D E$ 的中点时, $G H / /$ 平面 $A B E$;
(2) 存在点 $H$, 使得 $G H \perp A E$;
(3)三棱雉 $B-G H F$ 的体积为定值;
(4) 三棱雉 $E-B C F$ 的外接球的表面积为 $14 \pi$.
其中正确的结论序号为 (  ) (填写所有正确结论的序号)
【答案】 (1)(3)(4)

【解析】 对(1): 当 $H$ 为 $D E$ 的中点时, 取 $E A$ 中点为 $M$, 连接 $M H, M B$, 如下图所示:


因为 $H, M$ 分别为 $E D, E A$ 的中点, 故可得 $M H / / A D, M H=\frac{1}{2} A D$,
根据已知条件可知: $B G / / A D, B G=\frac{1}{2} A D$, 故 $M H / / B G, M H=B G$,
故四边形 $H M B G$ 为平行四边形, 则 $H G / / M B$, 又 $M B \subset$ 平面 $A B E, H G \not \subset$ 平面 $A B E$, 故 $H G / /$ 平面 $A B E$, 故 (1)正确;
对(2): 因为 $E D \perp$ 平面 $A B C D, D A, D C \subset$ 平面 $A B C D$, 故 $D E \perp D A, D E \perp D C$,
又四边形 $A B C D$ 为正方形, 故 $D A \perp D C$, 则 $D E, D A, D C$ 两两垂直,
以 $D$ 为坐标原点, 建立空间直角坐标系如下图所示:



则 $A(2,0,0), E(0,0,2), G(1,2,0)$, 设 $H(0,0, m), m \in[0,2]$,
若 $G H \perp A E$, 则 $\overrightarrow{G H} \cdot \overrightarrow{A E}=(-1,-2, m) \cdot(-2,0,2)=0$,
即 $2+2 m=0$, 解得 $m=-1$, 不满足题意,故(2)错误;
对(3): $V_{B G F F H}=V_{H B G F}$, 因为 $B, F, G$ 均为定点, 教 $S_{\triangle B C F}$ 为定值, 又 $D E / / C F, C F \subset$ 平面 $B G F, D E \not \subset$ 平面 $B G F$, 故 $D E / /$ 平面 $B G F$, 又点 $H$ 在 $D E$ 上运动, 故点 $H$ 到平面 $B G F$ 的距离是定值, 故三棱锥 $B G F H$ 的体积为 定值, 则(3)正确;
对(4): 取 $\triangle E F C$ 的外心为 $O_1$, 过 $O_1$ 作平面 $E F C$ 的垂线 $O_1 N$, 则三棱雉 $B-E F C$ 的外接球的球心 $O$ 一定在 $O_1 N$ 上,
因为 $O O_1 \perp$ 平面 $E F C, F C \perp$ 平面 $A B C D, C B \subset$ 平面 $A B C D$, 则 $C F \perp C B$, 又 $C B \perp C D$,
$C F \cap C D=C, C F, C D \subset$ 平面 $E F C D$, 故 $C B \perp$ 平面 $E F C D$, 即 $B C \perp$ 平面 $E F C$,
则 $O O_1 / / C B$, 故 $O O_1, B C$ 在同一个平面, 则过 $O$ 作 $O P \perp B C$, 连接 $O B, O C$ 如图所示.



在 $\triangle E F C$ 中, 容易知 $E F=\sqrt{5}, E C=2 \sqrt{2}, F C=1$,
则由余弦定理可得 $\cos \angle E F C=\frac{5+1-8}{2 \sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$, 故 $\sin \angle E F C=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$,
则由正弦定理可得 $O_1 C=\underset{2 \sin \angle E F C}{E C}={ }_2^{\sqrt{ } 10}=O P$;
设三棱雉 $E F C B$ 的外接球半径为 $R$, 则 $O C=O B=R$,
在 $\triangle O B P$ 中, $O B=R, O P=\frac{\sqrt{10}}{2}$, 又 $B P=2-P C=2-O O_1=2-\sqrt{O C^2-O_1 C^2}=2-\sqrt{R^2-\frac{5}{2}}$,
故由匈股定理可知: $O B^2=O P^2+B P^2$, 即 $R^2=\frac{5}{2}+4+R^2-\frac{5}{2}-4 \sqrt{R^2-5} 2$,
解得: $R^2=\frac{7}{2}$, 则该棱锥外接球的表面积 $S=4 \pi R^2=14 \pi$, 故(4)正确. 故答案为(1)(3)(4).
系统推荐