2022 年 9 月 28 日晩, 中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中, 又一次以 $3: 0$ 的比分酣畅淋漓地战胜了老对手日本女排, 冲上了热搜 榜第八位, 令国人振奋! 同学们, 你们知道排球比赛的规则和积分制 吗? 其规则是: 每场比赛采用 “ 5 局 3 胜制” (即有一支球队先胜 3 局即 获胜, 比赛结束). 比赛排名采用积分制, 积分规则如下: 比赛中, 以 3 : 0 或 $3: 1$ 取胜的球队积 3 分, 负队积 0 分; 以 $3: 2$ 取胜的球队积 2 分, 负队积 1 分. 已知甲、乙两队比赛, 甲队每局获胜的概率为 $\frac{2}{3}$.
(1) 如果甲、乙两队比赛 1 场, 求甲队的积分 $X$ 的概率分布列和数学 期望;
(2)如果甲、乙两队约定比赛 2 场, 求两队积分相等的概率.
【答案】 (1) 随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3$,
$$
\begin{aligned}
& P(X=0)=\left(\frac{1}{3}\right)^3+\mathrm{C}_3^1 \cdot \frac{2}{3} \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9}, P(X=1)=\mathrm{C}_4^2 \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \frac{1}{3}=\frac{8}{81}, \\
& P(X=2)=\mathrm{C}_4^2 \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \frac{2}{3}=\frac{16}{81}, P(X=3)=\mathrm{C}_3^2 \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{16}{27},
\end{aligned}
$$
所以 $X$ 的分布列为




所以数学期望 $E(X)=0 \times \frac{1}{9}+1 \times \frac{8}{81}+2 \times \frac{16}{81}+3 \times \frac{16}{27}=\frac{184}{81}$.

(2)记“甲、乙两队比赛两场后, 两从积分相等”为事件 $A$,
设第 $i$ 场甲、乙两队积分分别为 $X_i 、 Y_i$, 则 $X_i=3-Y_i, i=1,2$,
因两队积分相等, 所以 $X_1+X_2=Y_1+Y_2$, 即 $X_1+X_2=\left(3-X_1\right)+\left(3-X_2\right)$, 则 $X_1+X_2=3, $
所以 $P(A)=P\left(X_1=0\right) P\left(X_2=3\right)+P\left(X_1=1\right) P\left(X_2=2\right)+P\left(X_1=2\right) P\left(X_2=1\right)+P\left(X_1=3\right) P\left(X_2=0\right)$
$=\frac{1}{9} \times \frac{16}{27}+\frac{8}{81} \times \frac{16}{81}+\frac{16}{81} \times \frac{8}{81}+\frac{16}{27} \times \frac{1}{9}=\frac{1120}{6561}$.


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解答题 来源: 2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考I卷)
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类) 的关系, 在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例 (称为病例组), 同时在末患该疾病 的人群中随机调查了 100 人 (称为对照组), 得到如下数据: [img=/uploads/2022/32988a.jpg][/img] (1)能否有 $99 \%$ 的把握认为患该疾病群体与末患该疾病群体的卫生习惯有差异? (2) 从该地的人群中任选一人, $A$ 表示事件 “选到的人卫生习惯不㿟良好”, $B$ 表示事件“选到 的人患有该疾病”,$\frac{P(B \mid A)}{P(\bar{B} \mid A)}$ 与 $\frac{P(B \mid \bar{A})}{P(\bar{B} \mid \bar{A})}$ 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一 项度量指标, 记该指标为 $R$. (i) 证明: $R=\frac{P(A \mid B)}{P(\bar{A} \mid B)} \cdot \frac{P(\bar{A} \mid \bar{B})}{P(A \mid \bar{B})}$; (ii) 利用该调查数据, 给出 $P(A \mid B), P(A \mid \bar{B})$ 的估计值, 并利用(i) 的结果给出 $R$ 的估计值. [img=/uploads/2022/46671d.jpg][/img]