已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$, 对任意 $n \in \mathbf{N}^*, S_n=(-1)^n a_n+\frac{1}{2^n}+n-3$ 且 $\left(a_{n+1}-p\right)\left(a_n-p\right) < 0$ 恒成立, 则实数 $p$ 的取值范围是
【答案】 $\left(-\frac{3}{4}, \frac{11}{4}\right)$

【解析】 由 $S_n=(-1)^n a_n+\frac{1}{2^n}+n-3$, 得 $a_1=-\frac{3}{4}$; 当 $n \geqslant 2$ 时, $a_n=S_n-S_{n-1}=(-1)^n a_n+\frac{1}{2^n}+$ $n-3-(-1)^{n-1} a_{n-1}-\frac{1}{2^{n-1}}-(n-1)+3=(-1)^n a_n+(-1)^n a_{n-1}-\frac{1}{2^n}+1$,

若 $n$ 为偶数, 则 $a_{n-1}=\frac{1}{2^n}-1$, $\therefore a_n=\frac{1}{2^{n+1}}-1$ ( $n$ 为正奇数 $)$;

若 $n$ 为奇数, 则 $a_{n-1}=-2 a_n-\frac{1}{2^n}+1=-2\left(\frac{1}{2^{n+1}}-1\right)-\frac{1}{2^n}+1=3-\frac{1}{2^{n-1}}, \therefore a_n=3$ $-\frac{1}{2^n}(n$ 为正偶数 $)$. 函数 $a_n=\frac{1}{2^{n-1}}-1$ ( $n$ 为正奇数 $)$ 为减函数, 最大值为 $a_1=-\frac{3}{4}$, 函数 $a_n=3-\frac{1}{2^n}(n$ 为正偶
数) 为增函数, 最小值为 $a_2=\frac{11}{4}$. 若 $\left(a_{n+1}-p\right)\left(a_n-p\right) < 0$ 恒成立, 则 $a_1 < p < a_2$, 即 $-\frac{3}{4} < p < \frac{11}{4}$. 故答案为 $\left(-\frac{3}{4}, \frac{11}{4}\right)$
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单选题 来源:2022年12月湖北五校联盟(武汉、孝感、向阳、宜昌、夷陵)高三上学期第一次联考试卷
意大利数学家斐波那契以兔子的繁殖数量为例,引入数列:$1,1,2,3,5,8,...$,该数列从第三项起每一项都等于前两项的和, 即递推关系式为 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n, n \in N^*$, 故此数列称为斐波那契数列, 又称“兔子数列”. 已知满足上述递推关系式们数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=A \cdot\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+B \cdot\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$, 其中 A、B 的值可由 $a_1$ 和 $a_2$ 得到, 比如兔子数列中 $a_1=1, a_2=1$ 代入解得 $A=\frac{1}{\sqrt{5}}, B=-\frac{1}{\sqrt{5}}$. 利用 以上信息计算 $\left[\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^5\right]=(\quad) .([x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数 $)$