已知函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{n x}-n x\left(n \in \mathbf{N}^*\right.$ 且 $\left.n \geqslant 2\right)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $P, Q$ 两点, 且点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧.
(1) 求点 $P$ 处的切线方程 $y=g(x)$, 并证明: $x \geqslant 0$ 时, $f(x) \geqslant g(x)$.
(2) 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=t$ ( $t$ 为实数) 有两个正实根 $x_1, x_2$, 证明: $\left|x_1-x_2\right| < \frac{2 t}{n \ln n}+\frac{\ln n}{n}$.