已知向量 $\boldsymbol{a}=(-1,2)$, 点 $A(-2,1)$, 若 $\overrightarrow{A B} / / \boldsymbol{a}$ 且 $|\overrightarrow{A B}|=3 \sqrt{5}, O$ 为坐 标原点, 则 $\overrightarrow{O B}$ 的坐标为
$ \text{A.} $ $(1,-5)$ $ \text{B.} $ $(-5,7)$ $ \text{C.} $ $(1,-5)$ 或 $(5,-7)$ $ \text{D.} $ $(1,-5)$ 或 $(-5,7)$
【答案】 D

【解析】 由 $\overrightarrow{A B} / / \boldsymbol{a}$ 知, 存在实数 $\lambda$, 使 $\overrightarrow{A B}=\lambda \boldsymbol{a}=(-\lambda, 2 \lambda)$,
又 $|\overrightarrow{A B}|=3 \sqrt{5}$, 则 $\lambda^2+4 \lambda^2=9 \times 5$, 即 $\lambda=3$ 或 $\lambda=-3$,
所以 $\overrightarrow{A B}=(3,-6)$ 或 $(-3,6)$. 又点 $A(-2,1)$,
所以 $\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}=(1,-5)$ 或 $(-5,7)$. 故选 D.
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解答题 来源:2017 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每天从该生 产线上随机抽取 16 个零件, 并测量其尺寸(单位; $\mathrm{cm}$ ). 根据长期生产经验 , 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right.$ ). (1)假设生产状态正常, 记 $X$ 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在( $\mu-3 \sigma$ $, \mu+3 \sigma)$ 之外的零件数, 求 $P(x \geqslant 1)$ 及 $X$ 的数学期望; (2) 一天内抽检零件中, 如果出现了尺寸在 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 之外的零件, 就 认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况, 需对当天的生产 过程进行检查. ( i ) 试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ii) 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸: [img=/uploads/2022/245257.jpg][/img] 经计算得 $x=\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} x_{i}=9.97, s=\sqrt{\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}\left(\sum_{i=1}^{16} x_{i}{ }^{2}-16 \bar{x}^{2}\right)} \approx 0.212$, 其中 $x_{i}$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸, $i=1,2, \ldots, 16$. 用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $\mu$ 的估计值 $\mu$, 用样本标准差 $s$ 作为 $\sigma$ 的估计值 $\sigma$, 利用估 计值判断是否需对当天的生产过程进行检查? 剔除 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 之 外的数据, 用剩下的数据估计 $\mu$ 和 $\sigma$ (精确到 0.01). 附:若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 则 $P(\mu-3 \sigma<Z<\mu+3 \sigma)=0.9974$, $$ 0.9974^{16} \approx 0.9592, \sqrt{0.008} \approx 0.09 $$