一、单选题 （共 19 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为 $n(n \geqslant 3)$ 维列向量, 关于向量组 (I) $k \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, k \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 (II) $-k \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 向量组 (I) 必线性无关
$\text{B.}$ 向量组 (II) 必线性无关
$\text{C.}$ 若向量组 (I) 线性无关, 则向量组 (II) 也线性无关
$\text{D.}$ 若向量组 (II) 线性无关,则向量组 (I) 也线性无关
方程组 ( I ) $\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2+3 x_3-x_4=0, \\ x_1-x_2+2 x_3+a x_4=0\end{array}\right.$ 与方程组 ( II) $\left\{\begin{array}{l}2 x_1+x_2+5 x_3+x_4=0, \\ 3 x_2+x_3+b x_4=0\end{array}\right.$ 同解,则
$\text{A.}$ $a=1, b=2$
$\text{B.}$ $a=-1, b=2$
$\text{C.}$ $a=2, b=3$
$\text{D.}$ $a=2, b=-3$
设 $\boldsymbol{A}_i, i=1,2$ 均为 $n$ 阶对称阵, 且 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{E} & \boldsymbol{A}_2\end{array}\right)$ 为正定矩阵, 则下列说法不正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}_1$ 正定
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}_2$ 正定
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}$ 正定
$\text{D.}$ $|\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}\right|$
设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶实对称矩阵, $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{A}$ 的每行元素之和均为 0 . 设 2,3 为 $\boldsymbol{A}$ 的非零特征值, 用 $A_{11}$ 表示 $\boldsymbol{A}$ 的元素 $a_{11}$ 所对应的代数余子式, 则 $A_{11}=$.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 6
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称阵, $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随阵, 且 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})+\mathrm{r}\left(\boldsymbol{A}^*\right)=1$, 已知 $\lambda_1=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值, 对应的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_1=(-1,1,1)^{\mathrm{T}}$, 则方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系为
$\text{A.}$ $(1,1,0)^{\mathrm{T}}$
$\text{B.}$ $(1,2,-1)^{\mathrm{T}}$
$\text{C.}$ $(1,1,0)^{\mathrm{T}},(1,-1,0)^{\mathrm{T}}$
$\text{D.}$ $(2,1,1)^{\mathrm{T}},(1,0,1)^{\mathrm{T}}$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵,下列命题正确的有
(1) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(2) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^*$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(3) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^2$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(4) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $k \boldsymbol{A}(k \neq 0)$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
设 $\boldsymbol{A}$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶矩阵, $\boldsymbol{E}_r$ 为 $r$ 阶单位矩阵, $\boldsymbol{O}$ 为零矩阵, 则下列命题不正确的是
$\text{A.}$ 存在秩为 $n-r$ 的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ 使得 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$.
$\text{B.}$ 存在秩为 $n-r$ 的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{C A}=\boldsymbol{O}$.
$\text{C.}$ 存在秩为 $r$ 的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{C A B}=\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{E}_r & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ 存在秩为 $n-r$ 的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{C A B}=\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{E} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$.
设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 3 维实列向量, 且 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=1, \boldsymbol{B}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}$ 为 3 阶不可逆矩阵, 且 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$, 则 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 8
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k\end{array}\right)$. 若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同但不相似, 则常数 $k$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $k>0$ 且 $k \neq 2$.
$\text{B.}$ $k < 0$ 且 $k \neq-2$.
$\text{C.}$ $k>0$ 且 $k \neq 3$.
$\text{D.}$ $k < 0$ 且 $k \neq-3$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵, $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(2,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(1, a, 2)^{\mathrm{T}}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=$ $\boldsymbol{b}$ 的解, 其中 $\boldsymbol{b}=(1,-2,1)^{\mathrm{T}}$, 则
$\text{A.}$ 当 $a=1$ 时, 有 $r(\boldsymbol{A})=1$.
$\text{B.}$ 当 $a=1$ 时,有 $r(\boldsymbol{A})=2$.
$\text{C.}$ 当 $a \neq 1$ 时, 有 $r(\boldsymbol{A})=1$.
$\text{D.}$ 当 $a \neq 1$ 时,有 $r(\boldsymbol{A})=2$.
设 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{r}-2 \\ 1 \\ -4\end{array}\right)$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ 为 $\mathbb{R}^3$ 的两组基, 则 $\boldsymbol{\beta}_1$, $\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 到 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的过渡矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{rrr}5 & -4 & -6 \\ 1 & 0 & 1 \\ 10 & 8 & 11\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{rrr}5 & 1 & -10 \\ -4 & 0 & 8 \\ -6 & 1 & 11\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{15}{4} & \frac{7}{4} & \frac{9}{4} \\ -2 & 0 & -1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{2} & \frac{15}{4} & -2 \\ \frac{3}{2} & \frac{7}{4} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{9}{4} & -1\end{array}\right)$.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2\right)=2 x_1^2+a x_2^2+4 x_1 x_2$ 对应的矩阵与 $\left(\begin{array}{ll}4 & b \\ 3 & 1\end{array}\right)$ 合同, 则
$\text{A.}$ $a>2, b=3$.
$\text{B.}$ $a < 2, b=3$.
$\text{C.}$ $a>2, b=\frac{2}{3}$.
$\text{D.}$ $a < 2, b=\frac{2}{3}$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 则 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}$ 是 $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})+r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=n$ 的
$\text{A.}$ 必要非充分条件.
$\text{B.}$ 充分非必要条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 非充分非必要条件.
下列矩阵中, 与矩阵 $\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 相似的为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{rrr}3 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right)$.
设 $n$ 阶矩阵 $A, B$ 满足 $A A^T=E, B B^T=E$, 其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵, 则
$\text{A.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总成立
$\text{B.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总不成立
$\text{C.}$ 当 $|A||B| < 0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
$\text{D.}$ 当 $|A||B|>0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)$, 且 $r(B)=2, r(A B)=1$, 则
$\text{A.}$ $r\left(\begin{array}{ll}A & O \\ A & B\end{array}\right)=3$
$\text{B.}$ $r\left(\begin{array}{cc}A & O \\ O & B^*\end{array}\right)=3$
$\text{C.}$ $r\left(\left(\begin{array}{cc}A^* & B \\ O & B^*\end{array}\right)=3\right.$
$\text{D.}$ $\left.r\left(\begin{array}{ll}A & B^* \\ O & B\end{array}\right)\right)=3$
$n$ 阶矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right), B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)$, 矩阵 $C_1=A B, C_2=A+B, C_3=(A, B)$, 则下列命题一定正确的是( )
(1)矩阵 $C_1$ 的列向量组可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示.
(2)矩阵 $C_1$ 的列向量组可由 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 线性表示.
(3)矩阵 $C_2$ 的列向量组可由矩阵 $C_3$ 的列向量线性表示.
(4) 矩阵的秩满足 $r\left(C_2\right) \leq r\left(C_3\right) \leq r(A)+r(B)$.
$\text{A.}$ (1)(3)(4)
$\text{B.}$ (2)(3)(4)
$\text{C.}$ (1)(4)
$\text{D.}$ (3)(4)
设 $A 、 B$ 是 $n$ 阶方阵, 下列等式正确的是
$\text{A.}$ $(A+B)^2=A^2+2 A B+B^2$;
$\text{B.}$ $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$;
$\text{C.}$ $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$;
$\text{D.}$ $(A+B)^2=A^2+A B+B A+B^2$.
设 $A 、 B$ 是同阶对称矩阵, 则 $A B$ 是
$\text{A.}$ 对称矩阵;
$\text{B.}$ 非对称矩阵;
$\text{C.}$ 反对称矩阵;
$\text{D.}$ 不一定是对称矩阵;
二、填空题 （共 6 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $0,1,2$, 设矩阵 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^2-2 \boldsymbol{A}$, 则 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶正交矩阵, 且 $|\boldsymbol{A}| < 0$. 交换 $\boldsymbol{A}$ 的第二列和第三列, 再将第二列的 -1 倍加到第一列, 所得矩阵为 $\boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{B}=$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 10\end{array}\right), \boldsymbol{B}=(2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E})^{-1}$, 则 $|\boldsymbol{B}-2 \boldsymbol{E}|$ 中所有元素的代数余子式之和为
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1 \\ 4 & 3 & 2 \\ -2 & 0 & 2\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}^5-3 \boldsymbol{A}^4=$
行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}a & 0 & 0 & 0 & a^1 \\ 1 & a & 0 & 0 & a^3 \\ 0 & 1 & a & 0 & a^2 \\ 0 & 0 & 1 & a & a \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right|=$
设向量组 $\alpha_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(5,3,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(1,3,-1)^{\mathrm{T}}, \alpha_4=(-2,2,-3)^{\mathrm{T}} . A$ 是三阶矩阵, 且. $A \alpha_1=\alpha_2, A \alpha_2=\alpha_3, A \alpha_3=\alpha_4$, 则 $A \alpha_4=$
三、解答题 （ 共 25 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
4 阶行列式 $D_4=\left|\begin{array}{cccc}1 & -1 & 1 & x-1 \\ 1 & -1 & x+1 & -1 \\ 1 & x-1 & 1 & -1 \\ x+1 & -1 & 1 & -1\end{array}\right|=$
$$
\text { 设 } n \text { 阶矩阵 } A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & a & a & \cdots & a \\
a & 1 & a & \cdots & a \\
a & a & 1 & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a & a & a & \cdots & 1
\end{array}\right), n \geq 3 \text { 且 }
$$
$r(A)=n-1$, 则 $a=$
设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ 为 4 阶矩阵， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵. 若单个向量 $\beta \neq 0$ 是方程组 $\boldsymbol{A} X=0$ 的一个基础解系，则 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{X}=0$的基础解系含有解向量的个数是
实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+2 x_2\right)^2+\left(2 x_2-x_3\right)^2$ $+\left(x_1+x_3\right)^2$ 的正惯性指数为
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ a\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$ 且 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$与 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 等价，则 $a$ 满足
设 $\sigma$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$, 则 $\sigma$ 的不变子空间的个数是
如果实系数多项式 $f(x)$ 满足: $f\left(2 x^2+1\right)=2[f(x)]^2+1,(\forall x \in \mathbb{R}), f(0)=0 .$
证明: $f(x) \equiv x,(\forall x \in \mathbb{R})$.
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$, 当 $a, b$ 为何值时，存在矩阵 $C$.使得 $A C-C A=B$ ，并求所有的矩阵 $C$.
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵， $n>1$ ，如果对任意 $n$ 阶矩阵 $B$ ，都有
$|A+B|=|A|+|B| .$
证明: $A=O$.
已知实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1{ }^2+a x_2{ }^2+a x_3{ }^2$
$+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 用正交替换 $X=T Y$ 化为标准形
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=b{y_2}^2+c y_3{ }^2,(b, c \neq 0) .
$$
求 $a, b, c$ 并写出正交替换及所化成的标准二次型.
求矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ -3 & -6 & -1\end{array}\right)$ 的约当标准形 $J$, 并求可逆矩阵 $T$.使得 $T^{-1} A T=J$.
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}a_1+b \\ a_1 \\ \vdots \\ a_1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}a_2 \\ a_2+b \\ \vdots \\ a_2\end{array}\right), \cdots, \alpha_n=\left(\begin{array}{c}a_n \\ a_n \\ \vdots \\ a_n+b\end{array}\right)$. 记 $W=L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ ，其中 $\sum_{i=1}^n a_i \neq 0$ ，求 $W$ 的维数与一组基.
设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，且 $A^2=E$ ，证明:
(1) $r(A+E)+r(A-E)=n$.
(2) $A$ 与对角矩阵相似.
(3) $\mathbb{R}^{n \times n}=V_1 \oplus V_2$ ，其中
$$
\begin{aligned}
& V_1=\left\{\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid(A+E) X=0\right\}, \\
& V_2=\left\{\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid(A-E) \boldsymbol{X}=\mathbf{0}\right\}
\end{aligned}
$$
设 $V=\mathbb{P}^{2 \times 2}$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的线性空间，记 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in V$ ，线性变换： $\sigma: X \mapsto A X, \forall X \in \mathbb{P}^{2 \times 2}$.
(1) 求线性变换 $\sigma$ 在基:
$$
E_{11}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$
下的矩阵.
（2）如果 $A$ 相似于对角矩阵，证明：线性变换 $\sigma$ 在 $V$ 的某组基下的矩阵是对角矩阵.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right)$,
(I) 求正交阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}$, 其中 $\boldsymbol{\Lambda}$ 为对角阵.
(II) 求 $\boldsymbol{X}_{3 \times 2}$, 使得 $\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{O}$, 并讨论秩 $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{X}_{3 \times 2}\right)$.