一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
从总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ( $\mu, \sigma^2$ 均末知）中抽取容量 $\boldsymbol{n}$ 的一个样本, 样本均值为 $\bar{X}$, 样本方 差为 $S^2$, 则 $\mu$ 的置信度为 $90 \%$ 的双侧置信区间是
$\text{A.}$ $\left(\bar{X} \mp \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{0.05}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\bar{X} \mp \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{0.1}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\bar{X} \mp \frac{S}{\sqrt{n}} t_{0.05}(n-1)\right)$
$\text{D.}$ $\left(\bar{X} \mp \frac{S}{\sqrt{n}} t_{0.1}(n-1)\right)$
设二维随机变量 $(X, Y) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0), U=a X+b Y, V=c X+d Y$, 其中 $a, b, c, d$ 为实 数, 则 $(U, V) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0)$ 是 $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 为正交矩阵的
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 必要非充分条件
$\text{D.}$ 非充分非必要条件
设相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 的分布函数分别为 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$. 若这两个函数各有 2 个 间断点, 则随机变量 $X Y$ 的分布函数的间断点的个数不可能是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设口袋中有 10 个球, 其中 6 个红球, 4 个白球, 每次不放回地从中任取一个, 取两次, 若取出的两个球中有 1 个是白球, 则两个都是白球的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{5}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本, 记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 则 $D\left(\bar{X}^2\right)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{n^2}$.
$\text{B.}$ $\frac{2}{n^2}$.
$\text{C.}$ $\frac{3}{n^2}$.
$\text{D.}$ $\frac{4}{n^2}$.
当 ( )成立时, 随机事件 $A, B, C$ 相互独立.
$\text{A.}$ $\mathrm{P}(A-B)=1$
$\text{B.}$ $\mathrm{P}(C-A)=0$
$\text{C.}$ $\mathrm{P}(A \cup B)=1$
$\text{D.}$ $\mathrm{P}(A B C)=\mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B) \mathrm{P}(C)$
二、填空题 （共 2 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
记半圆盘 $x^2+y^2 \leqslant 4(y \geqslant 0)$ 中到 $x$ 轴的距离不超过 $\sqrt{2}$ 的点所构成的区域为 $D$. 向区域 $D$ 中随机投郑一点, 以该点为圆心, 该点到 $x$ 轴的距离为半径作圆 $C$. 记圆 $C$ 的面积为 $S$,则 $E(S)=$
设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为 0.05 . 现在对 100 个这样的元件进行超负荷试验, 以 $X$ 表示 “不能承受试验而烧毁的元件数” , 则根据中心极限定理, $P\{5 \leqslant X \leqslant 10\} $ $(\Phi(2.29)=0.989)$
三、解答题 （ 共 12 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设随机变量 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立, 其中 $X_1$ 与 $X_2$ 均服从标准正态分布, $X_3$ 的概率分布为 $P\left\{X_3=0\right\}=P\left\{X_3=1\right\}=\frac{1}{2}, Y=X_3 X_1+\left(1-X_3\right) X_2$.
（1）求二维随机变量 $\left(X_1, Y\right)$ 的分布函数, 结果用标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 表示.
(2) 证明随机变量 $Y$ 服从标准正态分布.
设某种元件的使用寿命 $T$ 的分布函数为
$$
F(t)=\left\{\begin{array}{cc}
1-\mathrm{e}^{-\left(\frac{t}{\theta}\right)^n}, & t \geq 0, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta, m$ 为参数且大于零.
(1) 求概率 $P\{T>t\}$ 与 $P\{T>s+t \mid T>s\}$, 其中 $s>0, t>0$.
（2）任取 $n$ 个这种元件做寿命试验, 测得它们的寿命分别为 $t_1, t_2 \cdots, t_n$, 若 $m$ 已知, 求 $\theta$ 的 最大似然估计值 $\hat{\theta}$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N(0,0,1,1, \rho)$, 试求:
(1) $E[\max \{X, Y\}]$;
(2)协方差 $\operatorname{Cov}(X-Y, X Y)$ 以及相关系数 $\operatorname{Corr}(X-Y, X Y)$.
设总体 $X$ 的概率密度为
(f) $f(x ; \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty < x < +\infty$
其中 $\sigma \in(0,+\infty)$ 为末知参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1)求 $\sigma$ 的最大似然估计量 $\hat{\sigma}$;
(2)求 $E(\hat{\sigma})$ 和 $D(\hat{\sigma})$.
设二维连续型随机变皇 $(X, Y)$ 的概率密度函数为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
C e^{-2 x}, & x>0,0 < y < x, \\
0, & \text { 其它. }
\end{array}\right.
$$
1. 确定常数 $C$ 的值;
2. 求 $X$ 与 $Y$ 边缘概率密度函数 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$, 并判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立;
3. 求 $Z=X+Y$ 的概率密度函数 $\mathrm{f}_{\mathrm{Z}}(z)$;
4. 求概率 $P(X \leq Y+2)$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
(2-x) y, & 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
求: (1) 求 $X, Y$ 的边缘概率密度 $f_X(x), f_Y(y)$, 并判断 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立(说明原因)?
(2) 求 $P\{X+Y \leq 1\}$.
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right),\left(X_1, X_2, \cdots\right.$, $\left.X_n\right)$ 是从总体 $X$ 中抽取的一个简单随机样本. $\bar{X}$ 与 $S^2$ 分别 表示样本均值与样本方差. 令 $T=\bar{X}^2-\frac{S^2}{n}$ ，求 $E(T)$ ，并 指出统计量 $T$ 是否为 $\mu^2$ 的无偏估计量.
设随机向量 $(\xi, \eta)$ 服从区域 $D$ 上的均匀分布, 其中 $D$ 是由直线 $y=x, x=0, y=$ 1所围成的区域. 试求:
(1) $(\xi, \eta)$ 的联合密度 $p(x, y)$;
(2) $(\xi, \eta)$ 的边缘密度 $p_1(x)$ 和 $p_2(y)$;
(3) 条件密度 $p(x \mid \eta=y)$;
(4) $E(\xi \mid \eta=y)$.
简. 奥斯汀 (1775 - 1817), 英国女作家, 作品有: 《理智与情感》, 《傲慢与偏见》, 《爱玛》等, 在其身后, 她的哥哥亨利主持了遗作《劝导》和《诺桑觉寺》两部作品出版。下面表格收集了代表作《理智与情感》, 《爱玛》以及《劝导》前两章中常用代表词的出现频数,
请问作品《理智与情感》, 《爱玛》以及《劝导》之间在选择常用词比例是否存在差异? $(\alpha=0.05)$
某地某天下雪的概率为 0.3 ,下雨的概率为 0.5 , 既下雪又下雨的概率为 0.1 , 求:
(1) 在下雨条件下下雪的概率;
(2) 这天下雨或下雪的概率.
车间中有 6 名工人在各自独立的工作, 已知每个人在 1 小时内有 12 分钟需用小吊车。
求 (1) 在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少?
（2）若车间中仅有 2 台小吊车, 则因小吊车不够而聶误工作的概率是多少?
一汽车沿一街道行使, 需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立, 求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以 $X$ 表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。
求 (1) $X$ 的概率分布;
(2)
$$
E\left(\frac{1}{1+X}\right)
$$