题号:2503    题型:解答题    来源:2022年9月考研数学 (一二三) 第一次模拟试题
设总体 $X$ 的概率密度为
(f) $f(x ; \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty < x < +\infty$
其中 $\sigma \in(0,+\infty)$ 为末知参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1)求 $\sigma$ 的最大似然估计量 $\hat{\sigma}$;
(2)求 $E(\hat{\sigma})$ 和 $D(\hat{\sigma})$.
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答案:
(1) 由题设可知其似然函数为
$$
L=\prod_{i=1}^n f\left(x_i ; \sigma\right)=\frac{1}{(2 \sigma)^n} \mathrm{e}^{-\frac{\sum_{i=1}^n\left|x_i\right|}{\sigma}}
$$
取对数
$$
\ln L=-n \ln 2-n \ln \sigma-\frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^n\left|x_i\right|
$$

$$
\frac{\mathrm{d} \ln L}{\mathrm{~d} \sigma}=0-\frac{n}{\sigma}+\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n\left|x_i\right|=0 \Rightarrow \sigma=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left|x_i\right|
$$
故最大似然估计量为
$$
\hat{\sigma}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left|X_i\right|
$$
(2)易得
$$
\begin{aligned}
E(\hat{\sigma}) &=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left|X_i\right|=E|X|=\int_{-\infty}^{+\infty}|x| f(x ; \sigma) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{+\infty}|x| \frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\sigma}} \mathrm{d} x \\
&=\frac{1}{\sigma} \int_0^{+\infty} x \mathrm{e}^{\frac{x}{\sigma}} \mathrm{d} x=\sigma \int_0^{+\infty} \frac{x}{\sigma} \mathrm{e}^{-\frac{x}{\sigma}} \mathrm{d}\left(\frac{x}{\sigma}\right)=\sigma \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t \\
&=\sigma \Gamma(2)=\sigma \\
D(\hat{\sigma}) &=\frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D\left|X_i\right|=\frac{1}{n} D|X|=\frac{1}{n}\left[E|X|^2-(E|X|)^2\right]=\frac{1}{n}\left[E\left(X^2\right)-\sigma^2\right] \\
&=\frac{1}{n}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \cdot \frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\sigma}} \mathrm{d} x-\sigma^2\right]=\frac{1}{n}\left[\int_0^{+\infty} \frac{x^2}{\sigma} \mathrm{e}^{-\frac{x}{\sigma}} \mathrm{d} x-\sigma^2\right] \\
&=\frac{\sigma^2}{n} \int_0^{+\infty} \frac{x^2}{\sigma^2} \mathrm{e}^{-\frac{x}{\sigma}} \mathrm{d}\left(\frac{x}{\sigma}\right)-\frac{\sigma^2}{n}=\frac{\sigma^2}{n} \int_0^{+\infty} t^2 \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t-\frac{\sigma^2}{n} \\
&=\frac{\sigma^2}{n} \Gamma(3)-\frac{\sigma^2}{n}=\frac{\sigma^2}{n}
\end{aligned}
$$
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