设随机变量 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立, 其中 $X_1$ 与 $X_2$ 均服从标准正态分布, $X_3$ 的概率分布为 $P\left\{X_3=0\right\}=P\left\{X_3=1\right\}=\frac{1}{2}, Y=X_3 X_1+\left(1-X_3\right) X_2$.
（1）求二维随机变量 $\left(X_1, Y\right)$ 的分布函数, 结果用标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 表示.
(2) 证明随机变量 $Y$ 服从标准正态分布.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$