(1) $E[\max \{X, Y\}]$;
(2)协方差 $\operatorname{Cov}(X-Y, X Y)$ 以及相关系数 $\operatorname{Corr}(X-Y, X Y)$.

(1)利用二维正态分布的性质, 由于
$\int \max \{X, Y\}=\frac{1}{2}(X+Y+|X-Y|), E(X)=E(Y)=0$

$E[\max \{X, Y\}]=\frac{1}{2} E(X+Y+|X-Y|)=\frac{1}{2}[E(X)+E(Y)+E(|X-Y|)]=\frac{1}{2} E(|X-Y|)$

$$E(X)=E(Y)=0, \operatorname{Var}(X)=\operatorname{Var}(Y)=1, \operatorname{Corr}(X, Y)=\rho$$

$$\operatorname{Cov}(X, Y)=\sqrt{\operatorname{Var}(X)} \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \operatorname{Corr}(X, Y)=\rho$$

$$E(X-Y)=0, \operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)-2 \operatorname{Cov}(X, Y)=2-2 \rho$$

$$p(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi(2-2 \rho)}} \mathrm{e}^{-\frac{z^2}{2(2-2 \rho)}}$$

$$\begin{gathered} E[\mathrm{~m}\{X, Y\}]=\frac{1}{2} E(|X-Y|)=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty}|z| \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi(2-2 \rho)}} \mathrm{e}^{-\frac{z^2}{2(2-2 \rho)}} \mathrm{d} z \\ =\frac{1}{\sqrt{2 \pi(2-2 \rho)}} \int_0^{+\infty} z \mathrm{e}^{-\frac{z^2}{2(2-2 \rho)}} \mathrm{d} z=\left.\frac{1}{2 \sqrt{\pi(1-\rho)}} \cdot[-(2-2 \rho)] \mathrm{e}^{-\frac{z^2}{2(2-2 \rho)}}\right|_0 ^{+\infty} \\ =\frac{1}{2 \sqrt{\pi(1-\rho)}} \cdot(2-2 \rho)=\sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}} \\ \text { 因 }(X, Y) \text { 的联合密度函数为 } \\ p(x, y)=\frac{1}{2 \sqrt{\pi\left(1-\rho^2\right)}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2-2 \rho x y+y^2}{2\left(1-\rho^2\right)},-\infty < x, y < +\infty} \end{gathered}$$

\begin{aligned} E\left(X^2 Y\right) &=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 y \frac{1}{2 \sqrt{\pi\left(1-\rho^2\right)}} e^{-\frac{x^2-2 \rho x y+y^2}{2\left(1-\rho^2\right)}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} x y^2 \frac{1}{2 \sqrt{\pi\left(1-\rho^2\right)}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2-2 \rho x y+y^2}{2\left(1-\rho^2\right)}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ &=E\left(X Y^2\right) \end{aligned}

\begin{aligned} \operatorname{Cov}(X-Y, X Y) &=E[(X-Y) X Y]-E(X-Y) E(X Y) \\ &=\left[E\left(X^2 Y\right)-E\left(X Y^2\right)\right]-[E(X)-E(Y)] E(X Y)=0 \\ \operatorname{Corr}(X-Y, X Y) &=\frac{\operatorname{Cov}(X-Y, X Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(\mathrm{X}-Y) \sqrt{\operatorname{Var}(\mathrm{XY})}}}=0 \end{aligned}
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