题号:2502    题型:解答题    来源:2022年9月考研数学 (一二三) 第一次模拟试题
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N(0,0,1,1, \rho)$, 试求:
(1) $E[\max \{X, Y\}]$;
(2)协方差 $\operatorname{Cov}(X-Y, X Y)$ 以及相关系数 $\operatorname{Corr}(X-Y, X Y)$.
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答案:
(1)利用二维正态分布的性质, 由于
$\int \max \{X, Y\}=\frac{1}{2}(X+Y+|X-Y|), E(X)=E(Y)=0$

$E[\max \{X, Y\}]=\frac{1}{2} E(X+Y+|X-Y|)=\frac{1}{2}[E(X)+E(Y)+E(|X-Y|)]=\frac{1}{2} E(|X-Y|)$
因 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N(0,0,1,1, \rho)$, 有
$$
E(X)=E(Y)=0, \operatorname{Var}(X)=\operatorname{Var}(Y)=1, \operatorname{Corr}(X, Y)=\rho
$$
可得
$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=\sqrt{\operatorname{Var}(X)} \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \operatorname{Corr}(X, Y)=\rho
$$
则 $X-Y$ 服从正态分布, 且
$$
E(X-Y)=0, \operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)-2 \operatorname{Cov}(X, Y)=2-2 \rho
$$

即 $X-Y$ 服从正态分布 $N(0,2-2 \rho)$, 其密度函数为
$$
p(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi(2-2 \rho)}} \mathrm{e}^{-\frac{z^2}{2(2-2 \rho)}}
$$
所以
$$
\begin{gathered}
E[\mathrm{~m}\{X, Y\}]=\frac{1}{2} E(|X-Y|)=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty}|z| \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi(2-2 \rho)}} \mathrm{e}^{-\frac{z^2}{2(2-2 \rho)}} \mathrm{d} z \\
=\frac{1}{\sqrt{2 \pi(2-2 \rho)}} \int_0^{+\infty} z \mathrm{e}^{-\frac{z^2}{2(2-2 \rho)}} \mathrm{d} z=\left.\frac{1}{2 \sqrt{\pi(1-\rho)}} \cdot[-(2-2 \rho)] \mathrm{e}^{-\frac{z^2}{2(2-2 \rho)}}\right|_0 ^{+\infty} \\
=\frac{1}{2 \sqrt{\pi(1-\rho)}} \cdot(2-2 \rho)=\sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}} \\
\text { 因 }(X, Y) \text { 的联合密度函数为 } \\
p(x, y)=\frac{1}{2 \sqrt{\pi\left(1-\rho^2\right)}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2-2 \rho x y+y^2}{2\left(1-\rho^2\right)},-\infty < x, y < +\infty}
\end{gathered}
$$
则由对称性知
$$
\begin{aligned}
E\left(X^2 Y\right) &=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 y \frac{1}{2 \sqrt{\pi\left(1-\rho^2\right)}} e^{-\frac{x^2-2 \rho x y+y^2}{2\left(1-\rho^2\right)}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
&=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} x y^2 \frac{1}{2 \sqrt{\pi\left(1-\rho^2\right)}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2-2 \rho x y+y^2}{2\left(1-\rho^2\right)}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
&=E\left(X Y^2\right)
\end{aligned}
$$
且. $E(X)=E(Y)=0$, 故协方差与相关系数分别为
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Cov}(X-Y, X Y) &=E[(X-Y) X Y]-E(X-Y) E(X Y) \\
&=\left[E\left(X^2 Y\right)-E\left(X Y^2\right)\right]-[E(X)-E(Y)] E(X Y)=0 \\
\operatorname{Corr}(X-Y, X Y) &=\frac{\operatorname{Cov}(X-Y, X Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(\mathrm{X}-Y) \sqrt{\operatorname{Var}(\mathrm{XY})}}}=0
\end{aligned}
$$
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