一、单选题 （共 39 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
7. 设 $A, B, C$ 为三个随机事件, 且 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}, P(A B)=0$ $P(A C)=P(B C)=\frac{1}{12}$, 则 $A, B, C$ 中恰有一个事件发生的概率为
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{12}$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 其中 $P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}, \Phi(x)$ 表 示标准正态分布函数, 则利用中心极限定理可得 $P\left(\sum_{i=1}^{100} X_i \leq 55\right)$ 的近似值为
$\text{A.}$ $1-\Phi(1)$
$\text{B.}$ $\Phi(1)$
$\text{C.}$ $1-\Phi(2)$
$\text{D.}$ $\Phi(2)$
某工厂急需 12 只集成电路装配仪表, 现要到外地采购, 已知该型号集成电路的不合格 品率为 $0.1$, 问需要采购几只才能以 $99 \%$ 的把握保证其中合格的集成电路不少于有 12 只?
$\text{A.}$ 15
$\text{B.}$ 16
$\text{C.}$ 17
$\text{D.}$ 18
设随机事件 $A, B, C$ 两两相互独立且满足条件 $P(A B C)=0, P(A)=P(B)=P(C) < $ $\frac{1}{2}, P(A \cup B \cup C)=\frac{9}{16}$, 则 $P(A)$
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
设随机变量 $X \sim t(n), Y \sim F(1, n)$, 如果 $c>0$ 使得 $\mathbb{P}(0 < X < c)=\alpha$, 则 $\mathbb{P}\left(Y>c^2\right)=$ （）
$\text{A.}$ $1-\alpha$
$\text{B.}$ $\alpha$
$\text{C.}$ $1-2 \alpha$
$\text{D.}$ $2 \alpha$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 是来自总体 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 令 $\alpha=\sum_{i=1}^n X_i, \beta=\sum_{i=1}^n X_i^2$, 则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ $\frac{\alpha^2}{n \sigma^2}$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{B.}$ $\frac{\beta}{\sigma^2}$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $\frac{\alpha^2}{\beta}$ 服从 $F$ 分布
$\text{D.}$ $\frac{\left(X_1-X_2\right)^2}{\left(X_1+X_2\right)^2}$ 服从 $F$ 分布
设连续型随机变量 $X_1, X_2$ 的概率密度分别为 $f_1(x), f_2(x)$, 其分布函数分别为 $F_1(x), F_2(x)$, 记 $g_1(x)=f_1(x) F_2(x)+f_2(x) F_1(x), g_2(x)=f_1(x) F_1(x)+f_2(x) F_2(x), g_3(x)=$ $\frac{1}{2}\left[f_1(x)+f_2(x)\right], g_4(x)=\sqrt{f_1(x) f_2(x)}$, 则 $g_1(x), g_2(x), g_3(x), g_4(x)$ 这 4 个函数中一定 能作为概率密度的共有
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且 $X \sim E(a), Y \sim E(b)(a>0, b>0, a \neq b)$, 则服从 $E(a+b)$ 的 随机变量是
$\text{A.}$ $X+Y$.
$\text{B.}$ $X Y$.
$\text{C.}$ $\max \{X, Y\}$.
$\text{D.}$ $\min \{X, Y\}$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $E(X)$ 与 $D(X)$ 都存在, 且 $\bar{X}=\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i$, 若 $E\left(X_1 \bar{X}\right)=35, D\left(X_1-\bar{X}\right)=90$, 则 $E\left(X^2\right)=$
$\text{A.}$ 100
$\text{B.}$ 125
$\text{C.}$ 150
$\text{D.}$ 175
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 4-x^2\right\}$, 向 $D$ 内随机投掷一点 $(X$, $Y)$, 记 $A=\{X \leqslant 1\}, B=\{Y \leqslant 3\}$, 则随机事件 $A, B$ 恰好有一个发生的概率为（）
$\text{A.}$ $\frac{1}{16}$.
$\text{B.}$ $\frac{7}{16}$.
$\text{C.}$ $\frac{5}{16}$.
$\text{D.}$ $\frac{3}{16}$.
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 为来自总体 $N\left(1, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, $S^2$ 为样本方差, 则下列选项正确的是
$\text{A.}$ $\frac{X_1-X_2}{\left|X_3+X_4-2\right|} \sim t(2)$.
$\text{B.}$ $\frac{4(\bar{X}-1)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(2)$.
$\text{C.}$ $\frac{4(\bar{X}-1)^2}{S^2} \sim F(3,1)$.
$\text{D.}$ $\frac{\left(X_1-X_2\right)^2+\left(X_3-X_4\right)^2}{2 \sigma^2} \sim E\left(\frac{1}{2}\right)$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, $X \sim N(0,1), Y$ 的概率分布为 $P\{Y=0\}=\frac{1}{4}$, $P\{Y=1\}=\frac{3}{4}, Z=X Y$, 则对于 $Z$ 的分布函数 $F(z)$ 有
$\text{A.}$ $\lim _{z \rightarrow 0^{-}} F(z)=\frac{3}{8}, \lim _{z \rightarrow 0^{+}} F(z)=\frac{5}{8}$.
$\text{B.}$ $\lim _{z \rightarrow 0^{-}} F(z)=\lim _{z \rightarrow 0^{+}} F(z)=\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\lim _{z \rightarrow 0^{-}} F(z)=\frac{1}{4}, \lim _{z \rightarrow 0^{+}} F(z)=\frac{3}{4}$.
$\text{D.}$ $\lim _{z \rightarrow 0^{-}} F(z)=\frac{3}{4}, \lim _{z \rightarrow 0^{+}} F(z)=\frac{5}{8}$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_8$ 为来自总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, $Y^2=\frac{1}{8} \sum_{i=1}^8 X_i^2$, 则 下列选项正确的是
$\text{A.}$ $X^2 \sim \chi^2(1)$.
$\text{B.}$ $Y^2 \sim \chi^2(8)$
$\text{C.}$ $\frac{X}{Y} \sim t(8)$.
$\text{D.}$ $\frac{X^2}{Y^2} \sim F(8,1)$.
三个随机事件 $A, B, C$ 相互独立的充分条件是
$\text{A.}$ $A, B, C$ 两两独立.
$\text{B.}$ $P(A+B+C)=1-P(\bar{A}) P(\bar{B}) P(\bar{C})$.
$\text{C.}$ $P(A B C)=P(A) P(B) P(C)$.
$\text{D.}$ $P(B-A)=1$.
一批产品共 20 件, 其中 15 件正品, 5 件次品, 现有放回地抽取, 每次只取一件, 直到取得正品为 止. 假定每件产品被抽取的机会相等, 则抽取次数是奇数的概率以及平均抽取次数分别为
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}, \frac{4}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}, \frac{3}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{5}, \frac{3}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}, \frac{4}{3}$.
已知 $X \sim N(0,4)$, 样本 $X_1, X_2$ 取自总体 $X$, 则统计量 $T=\frac{\left(X_1-X_2\right)^2}{\left(X_1+X_2\right)^2}$ 服从的分布是
$\text{A.}$ $F(1,1)$.
$\text{B.}$ $\chi^2(1)$.
$\text{C.}$ $N(0,1)$.
$\text{D.}$ $t(1)$.
三个随机事件 $A, B, C$ 相互独立的充分条件是
$\text{A.}$ $A, B, C$ 两两独立.
$\text{B.}$ $P(A+B+C)=1-P(\bar{A}) P(\bar{B}) P(\bar{C})$.
$\text{C.}$ $P(A B C)=P(A) P(B) P(C)$.
$\text{D.}$ $P(B-A)=1$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X \sim N(0,1)$,
令随机变量 $Z=X Y$, 则 $Z$ 的分布为
$\text{A.}$ $N(-1,1)$.
$\text{B.}$ 与 $Y$ 同分布.
$\text{C.}$ $N(0,1)$.
$\text{D.}$ $N\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$.
已知 $X \sim N(0,4)$, 样本 $X_1, X_2$ 取自总体 $X$, 则统计量 $T=\frac{\left(X_1-X_2\right)^2}{\left(X_1+X_2\right)^2}$ 服从的分布是
$\text{A.}$ $F(1,1)$.
$\text{B.}$ $\chi^2(1)$.
$\text{C.}$ $N(0,1)$.
$\text{D.}$ $t(1)$.
设 $A, B$ 是两个互不相容的事件， $P(A)>0 ， P(B)>0$ ，则（） 一定成立。
$\text{A.}$ $\mathrm{P}(\mathrm{A})=1-\mathrm{P}$
$\text{B.}$ $\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid \mathrm{B})=0$
$\text{C.}$ P $(\mathrm{A} \mid \bar{B})=1$
$\text{D.}$ $\mathrm{P}(\bar{A} \bar{B})=0$
设 $A, B$ 是两个事件, $P(A)>0 ， P(B)>0$ ，当下面条件（（）成立时, $A$ 与 $\mathrm{B}$ 一定相互独立。
$\text{A.}$ $\mathrm{P}(\bar{A} \bar{B})=\mathrm{P}(\bar{A}) \mathrm{P}(\bar{B})$
$\text{B.}$ $\mathrm{P}(\overline{A B})=\mathrm{P}(\bar{A}) \mathrm{P}(\bar{B})$
$\text{C.}$ P $(\mathrm{A} \mid \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})$
$\text{D.}$ $\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid \mathrm{B})=\mathrm{P}(\bar{A})$
若 $A 、 B$ 相互独立, 则下列式子成立的为
$\text{A.}$ $P(\bar{A} B)=P(\bar{A}) P(B)$
$\text{B.}$ $P(A B)=0$
$\text{C.}$ $P(A \mid B)=P(B \mid A)$
$\text{D.}$ $P(A \mid B)=P(B)$
下面的函数中可以是离散型随机变量的概率函数
$\text{A.}$ $P\left\{\xi_1=k\right\}=\frac{e^{-1}}{k !}(k=0,1,2 \| 1)$
$\text{B.}$ $P\left\{\xi_2=k\right\}=\frac{e^{-1}}{k !}(k=1,2\|\|)$
$\text{C.}$ $P\left\{\xi_3=k\right\}=\frac{1}{2^k}(k=0,1,2 \|)$
$\text{D.}$ $P\left\{\xi_4=k\right\}=\frac{1}{2^k}(k=-1,-2,-3\|\|)$
设 $F_1(x)$ 与 $F_2(x)$ 分别为随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的分布函数, 为了使 $F(x)=a F_1(x)-b F_2(x)$ 是某一随机变量的分布函数, 则下列个组中应取
$\text{A.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $a=\frac{2}{3}, b=\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $a=\frac{3}{5}, b=-\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{2}$
事件 “掷一枚硬币，或者出现正面, 或者出现反面”是必然事件。
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
$\text{C.}$
$\text{D.}$
通过选取经验函数 $\mu\left(x ; a_1, a_2, \ldots, a_k\right)$ 中的参数使得观察值 $y_i$ 与相应的函数值 $\mu\left(x_i ; a_1, a_2, \ldots, a_k\right)$ 之差的平方和最小的方法称之为方差分析法。
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
$\text{C.}$
$\text{D.}$
在进行一元线性回归时, 通过最小二乘法求得的经验回归系数 $\hat{b}$ 为 $\frac{l_{x y}}{l_{x x}} $
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
$\text{C.}$
$\text{D.}$
连续抛一枚均匀硬币 6 次, 则正面至少出现一次的概率为 $\frac{2}{9} $
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
$\text{C.}$
$\text{D.}$
设某次考试考生的成绩服从正态分布 $N\left(70, \sigma^2\right), \sigma^2$ 末知, 为了检验样本均值是 否显著改变, 抽取 36 名同学测得平均成绩为 $66.5$ 分, 标准差为 15 分, 显著水平 $\alpha=0.05$, 则应该接受原假设。
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
$\text{C.}$
$\text{D.}$
设 $A 、 B$ 互不相容, 且 $P(A)>0, P(B)>0$, 则必有
$\text{A.}$ $P(B \mid A)>0$
$\text{B.}$ $P(A \mid B)=P(A)$
$\text{C.}$ $P(A \mid B)=0$
$\text{D.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
将 3 粒黄豆随机地放入 4 个杯子, 则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（）
$\text{A.}$ $\frac{3}{32}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{16}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{8}$
$X \sim N\left(\mu, 4^2\right), Y \sim N\left(\mu, 5^2\right), p_1=P\{X \leq \mu-4\}, p_2=P\{Y \geq \mu+5\}$, 则
$\text{A.}$ 对任意实数 $\mu, p_1=p_2$
$\text{B.}$ 对任意实数 $\mu, p_1 < p_2$
$\text{C.}$ 只对 $\mu$ 的个别值, 才有 $p_1=p_2$
$\text{D.}$ 对任意实数 $\mu$, 都有 $p_1>p_2$
设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)$, 且 $f(-x)=f(x), F(x)$ 是 $X$ 的分布函数, 则对任 意 实数 $a$ 成立的是 ( )
$\text{A.}$ $F(-a)=1-\int_0^a f(x) d x$
$\text{B.}$ $F(-a)=\frac{1}{2}-\int_0^a f(x) d x$
$\text{C.}$ $F(-a)=F(a)$
$\text{D.}$ $F(-a)=2 F(a)-1$
已知 $X_1, X_2, \mathrm{~L}, X_{50}$ 为来自总体 $X: N(2,4)$ 的样本, 记 $\bar{X}=\frac{1}{50} \sum_{i=1}^{50} X_i$, 则 $\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{50}\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 服从分布为
$\text{A.}$ $N\left(2, \frac{4}{50}\right)$
$\text{B.}$ $N\left(\frac{2}{50}, 4\right)$
$\text{C.}$ $\chi^2(50)$
$\text{D.}$ $\chi^2(49)$
设随机事件 $A, B, C$ 两两独立, 且 $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}, P(C)=\frac{1}{3}, P(A B \mid C)=\frac{1}{3}$, 则在 $A$ 不发生的条件下 $B$ 与 $C$ 都发生的概率是
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{9}$
设二维随机变量 $(X, Y) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0), U=a X+b Y, V=c X+d Y$, 其中 $a, b, c, d$ 为实 数, 则 $(U, V) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0)$ 是 $\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 为正交矩阵的
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 必要非充分条件
$\text{D.}$ 非充分非必要条件
设来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本的容量为 10 , 其中 $\mu$ 末知. 若 $\sigma^2$ 的置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间的置信上限为 1 , 则 $\sigma^2$ 的置信度为 $0.90$ 的单侧置信区间的置信下限 为
$\text{A.}$ $\dfrac{\chi_{0,025}^2(9)}{\chi_{0,10}^2(9)}$
$\text{B.}$ $\dfrac{\chi_{0,975}^2(9)}{\chi_{0.10}^2(9)}$
$\text{C.}$ $\dfrac{\chi_{0,975}^2(9)}{\chi_{0,90}^2(9)}$
$\text{D.}$ $\dfrac{\chi_{0.975}^2(9)}{\chi_{0.05}^2(9)}$
已知 $P(A)=P(B)=0.5$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $A \cup B=S$
$\text{B.}$ 若 $A$ 发生, 则 $B$ 也发生
$\text{C.}$ 若 $P(A \cup B)=1$, 则 $A$ 与 $B$ 不相容
$\text{D.}$ 若 $P(A \cup B)=0.75$, 则 $A$ 与 $B$ 独立
已知 $P(A) P(A B) \neq 0$, 则正确的是
$\text{A.}$ $P(B C \mid A)=P(B) P(C \mid A B)$
$\text{B.}$ $P(B \mid A)=P(A)-P(\bar{B} \mid A)$
$\text{C.}$ $P(B C \mid A)=1-P(\bar{B} \bar{C} \mid A)$
$\text{D.}$ $P(B \cup C \mid A)=P(B \mid A)+P(C \mid A)-P(B C \mid A)$