设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 是来自总体 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 令 $\alpha=\sum_{i=1}^n X_i, \beta=\sum_{i=1}^n X_i^2$, 则下列说法中错误的是
A. $\frac{\alpha^2}{n \sigma^2}$ 服从 $\chi^2$ 分布
B. $\frac{\beta}{\sigma^2}$ 服从 $\chi^2$ 分布
C. $\frac{\alpha^2}{\beta}$ 服从 $F$ 分布
D. $\frac{\left(X_1-X_2\right)^2}{\left(X_1+X_2\right)^2}$ 服从 $F$ 分布