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线性代数半期测试

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

1. 设随机变量

X, Y

相互独立, 且

X \sim N (0, 2), Y \sim N (- 1, 1)

,记

p_{1} = P {2 X > Y} ， p_{2} = P {X - 2 Y > 1}

，则

A.

p_{1} > p_{2} > \frac{1}{2}

B.

p_{2} > p_{1} > \frac{1}{2}

C.

p_{1} < p_{2} < \frac{1}{2}

D.

p_{2} < p_{1} < \frac{1}{2}

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2. 设随机变量

X, Y

相互独立，且均服从参数为

λ

的指数分布，令

Z = | X - Y |

，则下列随机变量与

Z

同分布的是（）

A.

X + Y

B.

\frac{X + Y}{2}

C.

2 X

D.

X

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3. 当

x \to x_{0}

时，

α (x), β (x)

都是无穷小, 则当

x \to x_{0}

时 ( ) 不一定是无穷小。

A.

| α (x) | + | β (x) |

B.

α^{2} (x) + β^{2} (x)

C.

\ln [1 + α (x) \cdot β (x)]

D.

\frac{α^{2} (x)}{β (x)}

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4. 极限

lim_{x \to a} {(\frac{\sin x}{\sin a})}^{\frac{1}{x - a}}

的值是

A.

B.

e

C.

e^{\cot a}

D.

e^{\tan a}

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f (x) = {\begin{cases} \frac{\sin x + e^{2 a x} - 1}{x} & x \neq 0 \\ a & x = 0 \end{cases}

在

x = 0

处连续, 则

a =

A.

B.

C.

D.

-1

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6. 设

f (x)

在点

x = a

处可导, 那么

lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a - 2 h)}{h} =

A.

3 f^{'} (a)

B.

2 f^{'} (a)

C.

f^{'} (a)

D.

\frac{1}{3} f^{'} (a)

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二、填空题（共 18 题），请把答案直接填写在答题纸上

7. 当

x \to 0

时，

\int_{0}^{x} \frac{(1 + t^{2}) \sin t^{2}}{1 + \cos t^{2}} d t

与

x^{k}

是同阶无穷小，则

k =

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\int_{2}^{+ \infty} \frac{5}{x^{4} + 3 x^{2} - 4} d x =

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9. 函数

f (x, y) = 2 x^{3} - 9 x^{2} - 6 y^{4} + 12 x + 24 y

的极值点是

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10. 某产品的价格函数为

p = {\begin{cases} 25 - 0.25 Q, & Q \leq 20, \\ 35 - 0.75 Q, & Q > 20 \end{cases}

(

p

为单价，单位: 万元；

Q

为产量，单位：件），总成本函数为

C = 150 + 5 Q + 0.25 Q^{2} (万元)

则经营该产品可获得的最大利润为

(万元 ).

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11. 设

A

为 3 阶矩阵，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，

E

为 3 阶单位矩阵. 若

r (2 E - A) = 1, r (E + A) = 2

，则

| A^{*} | =

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12. 设随机试验每次成功的概率为

p

，现进行 3 次独立重复试验，在至少成功 1 次的条件下， 3 次试验全部成功的概率为

\frac{4}{13}

，则

p =

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13. 已知

f (x) = e^{x^{2}}, f [φ (x)] = 1 - x

, 且

φ (x) \geq 0

, 则

φ (x) =

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14. 已知

a

为常数,

lim_{x \to \infty} (\frac{x^{2} + 2}{x} - a x + 1) = 1

, 则

a =

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15. 已知

f^{'} (1) = 2

, 则

lim_{x \to} \frac{f (1 + 3 x) - f (1 + x)}{x} =

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16. 设向量

a = (2, 0, - 2), b = (3, - 4, 0)

, 则

a \times b =

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17. 设

u = x^{2} + x y^{2} + y^{3}

. 则

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} =

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18. 椭球面

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 15

在点

(1, - 1, 2)

处的切平面方程为

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19. 设

D : y = x, y = - x, x = 2

直线所围平面区域.则

\iint_{D} (y + 2) d σ =

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20. 设

L :

点

(0, 0)

到点

(1, 1)

的直线段.则

\int_{L} x^{2} d s =

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21. 极限

lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + a) - \ln a}{x} (a > 0)

的值是

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22. 由

e^{x y} + y \ln x = \cos 2 x

确定函数

y (x)

, 则导函数

y^{'} =

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23. 直线

l

过点

M (1, 2, 3)

且与两平面

x + 2 y - z = 0, 2 x - 3 y + 5 z = 6

都平行, 则直线

l

的方程为

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24. 求函数

y = 2 x - \ln (4 x)^{2}

的单调递增区间为

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三、解答题（共 16 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

25. 设有界区域

D

位于第一象限，由曲线

x y = \frac{1}{3}, x y = 3

与直线

y = \frac{1}{3} x, y = 3 x

围成，计算

I = \iint_{D} (1 + x - y) d x d y

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26. 设函数

z = z (x, y)

由方程

z + e^{x} - y \ln (1 + z^{2}) = 0

确定，求

{(\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}) |}_{(0, 0)}

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27. 设

t > 0

，平面有界区域

D

由曲线

y = x e^{- 2 x}

与直线

x = t, x = 2 t

及

x

轴围成，

D

的面积为

S (t)

，求

S (t)

的最大值.

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28. 设

f (x)

具有二阶导数，且

f^{'} (0) = f^{'} (1), | f^{''} (x) | \leq 1

.
证明：（1）当

x \in (0, 1)

时，有

| f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x | \leq \frac{x (1 - x)}{2}

(2)

| \int_{0}^{1} f (x) d x - \frac{f (0) + f (1)}{2} | \leq \frac{1}{12}

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29. 设矩阵

A = (\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6 \end{array}), B = (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & - 1 & a & a - 1 \\ 2 & - 3 & 2 & - 2 \end{array})

，向量

α = (\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}), β = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

.
(1) 证明: 方程组

A x = α

的解均为方程组

B x = β

的解;
(2) 若方程组

A x = α

与方程组

B x = β

不同解，求

a

的值.

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30. 已知总体

X

服从

[0, θ]

上的均匀分布，

θ \in (0, + \infty)

为未知参数，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本，记

X_{(n)} = max {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}, T_{c} = c X_{(n)}

(1) 求

c

，使得

E (T_{c}) = θ

；
(2) 记

h (c) = E {(T_{c} - θ)}^{2}

，求

c

，使得

h (c)

最小.

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31. 设

z = x^{2} y + \ln (x + y) + \tan 2

, 求

d z

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32. 设

u = f (4 x y, 2 x - 3 y)

, 其中

f

一阶偏导连续, 求

\frac{\partial u}{\partial y}

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33. 设

z = z (x, y)

由

x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y z = 100

确定.求

\frac{\partial z}{\partial y}

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34. 求函数

f (x, y) = x^{3} - y^{3} + 3 x^{2} + 3 y^{2} - 9 x

的极值

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35. 求二重积分

\iint_{D} e^{x^{2} + y^{2}} d σ

, 其中 D:

1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 9

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36. 求三重积分

∭_{Ω} x y z^{2} d V, Ω

: 平面

x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z = 0, z = 1

所围区域

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37. 求

\int_{L} y d x - x d y, L

: 圆周

x^{2} + y^{2} = 9

, 逆时针

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38. 设

\sum

: 平面

x + 3 y + z = 1

位于第一卦限部分. 试求曲面积分

\iint_{Σ} x d S

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39. 设

\sum

是

z = x^{2} + y^{2}

位于平面

z = 4, z = 9

之间部分且取下侧, 求

\iint_{Σ} z d x d y

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40. 设

\sum

是锥面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

与平面

z = 1

所围立体区域整个边界曲面的外侧。试求

\iint_{Σ} 3 x d y d z - 2 y z d z d x + z^{2} d x d y

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