设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{array}\right)$ ，向量 $\alpha=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \quad \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$.
(1) 证明: 方程组 $A x=\alpha$ 的解均为方程组 $B x=\beta$ 的解;
(2) 若方程组 $A x=\alpha$ 与方程组 $B x=\beta$ 不同解，求 $a$ 的值.