设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，且 $A^2=E$ ，证明:
(1) $r(A+E)+r(A-E)=n$.
(2) $A$ 与对角矩阵相似.
(3) $\mathbb{R}^{n \times n}=V_1 \oplus V_2$ ，其中
$$
\begin{aligned}
& V_1=\left\{\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid(A+E) X=0\right\}, \\
& V_2=\left\{\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid(A-E) \boldsymbol{X}=\mathbf{0}\right\}
\end{aligned}
$$