单选题 （共 40 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\sin x^n\left(\sqrt{1+x^2}-1\right)+1$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, $g(x)=k \int_0^x\left( e ^{ t ^2}-1\right) d t$, 若 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则 ( ).
$\text{A.}$ $k=6, n=2$
$\text{B.}$ $k=4, n=2$
$\text{C.}$ $k=6, n=3$
$\text{D.}$ $k=4, n=3$
设 $y=y(x)$ 是方程 $x^2 y^2+y=1(y>0)$ 所确定的函数, 则 ( ).
$\text{A.}$ $y(x)$ 有极小值, 但无极大值
$\text{B.}$ $y(x)$ 有极大值, 但无极小值
$\text{C.}$ $y(x)$ 既有极大值, 又有极小值
$\text{D.}$ $y(x)$ 无极值
设 $f$ 为二元可微函数, $z=y f\left(\frac{y}{x}, x y\right)$, 则 $\frac{x}{y} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$
$\text{A.}$ $f+2 \frac{x}{y} \cdot f_1^{\prime}$
$\text{B.}$ $f-2 \frac{x}{y} \cdot f_1^{\prime}$
$\text{C.}$ $f+2 x y f_2^{\prime}$
$\text{D.}$ $f-2 x y f_2^{\prime}$
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为收敛的正项级数, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(b_n-b_{n+1}\right)$ 收敛, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n($ ).
$\text{A.}$ 绝对收敛
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 敛散性不定
设 $4 \times 5$ 阶矩阵 $A =\left(\begin{array}{l} \alpha _1^{ T } \\ \alpha _2^{ T } \\ \alpha _3^{ T } \\ \alpha _4^{ T }\end{array}\right)$, 且 $\eta _1=(1,1,-2,1)^{ T }, \quad \eta _2=(0,1,0,1)^{ T }$是齐次线性方程组 $A ^{ T } x =0$ 的基础解系，现有 4 个命题
(1) $\alpha _1, \alpha _3$ 线性无关;
(2) $\alpha _1$ 可由 $\alpha _2, \alpha _3$ 线性表出
(3)向量组 $\alpha _3, \alpha _4$ 为向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 的一个极大无关组
(4) 向量组 $\alpha _1, a _1+ \alpha _2, \alpha _3+2 \alpha _4$ 秩为 3 。
以上命题中正确的是 ( ).
$\text{A.}$ (1)(3)
$\text{B.}$ (2)(4)
$\text{C.}$ (2)(3)
$\text{D.}$ (1)(4)
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, 将 $A$ 的第 3 行的 2 倍加到第 1 行, 然后再将第 1 列的 -2 倍加到第 3列，得到矩阵为 $B$ ，则 $A$ 和 $B \quad(\quad)$ 。
$\text{A.}$ 完全相同
$\text{B.}$ 相似又等价，
$\text{C.}$ 等价但不一定相似
$\text{D.}$ 合同但不相似
已知 3 阶矩阵 $A$ 与 3 维列向量 $\alpha$, 若向量组 $\alpha, A \alpha, A ^2 \alpha$ 线性无关, 且 $A^3 \alpha=3 A \alpha-2 A^2 \alpha$, 则秩 $r (A)=(\quad)$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $A, B$ 为两随机事件, 若 $P(\bar{A})=0.4, P(B \mid A)=0.5, P(A \mid B)=0.6$, 则 ( )
$\text{A.}$ 事件 $A, B$ 独立, 且 $P(A-B)=0.1$
$\text{B.}$ 事件 $A, B$ 独立, 且 $P(A-B)=0.3$
$\text{C.}$ 事件 $A, B$ 不独立, 且 $P(A-B)=0.5$
$\text{D.}$ 事件 $A, B$ 不独立, 且 $P(A-B)=0.3$
设随机变量 $X \sim E(\lambda)$, 且 $X$ 的数学期望 $E(X)=\frac{1}{2}, Y$ 表示对 $X$ 的三次独立观察中事件 " $X>1$ " 出现的次数, 则概率 $P\{Y \geq 1\}=$ ( ).
$\text{A.}$ $1-\left(1-e^{-2}\right)^3$
$\text{B.}$ $1-\left(1-e^{-\frac{1}{2}}\right)^3$
$\text{C.}$ $1-3 e^{-2}\left(1-e^{-2}\right)^2$
$\text{D.}$ $3 e^{-4}\left(1-e^{-2}\right)$
设随机变量 $X$ 服从参数 $\lambda=2$ 的普松分布, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是 $X$ 的一组容量为 $n$ 的样本,若要求样本均值 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 大于 $\mu+\frac{\sigma}{4}$ 的概率不大于 0.05 (其中 $\mu= E X, \sigma^2= D X$ ),根据中心极限定理，则 $n$ 至少大于（）。
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 12
$\text{C.}$ 36
$\text{D.}$ 43
设 $f(x)=\frac{(x+1) \sin (x-1)}{x(x-1)^2}$, 则 $x=1$ 是 $f(x)$ 的 ( ).
$\text{A.}$ 跳跃间断点
$\text{B.}$ 连续点
$\text{C.}$ 可去间断点
$\text{D.}$ 无穷间断点
设 $f(x)=\frac{1+e^{-x^2}}{1-e^{-x^2}}$, 则曲线 $f(x)$ ().
$\text{A.}$ 仅有水平渐近线
$\text{B.}$ 仅有铅直渐近线
$\text{C.}$ 既有水平渐近线又有铅直渐近线
$\text{D.}$ 没有渐近线
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leq 1 \\ a x+b, & x>1\end{array}\right.$ 在 $x=1$ 处可导, 则 (
$\text{A.}$ $a=-1, b=2$
$\text{B.}$ $a=1, b=-1$
$\text{C.}$ $a=2, b=0$
$\text{D.}$ $a=2, b=-1$
已知 $y=\ln (1-x)$, 则 $\frac{d^n y}{d x^n}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{B.}$ $-\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} \frac{1}{(1-x)^n}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{(1-x)^n}$
设在 $[0,1]$ 上 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 则下列顺序正确的是 ( ).
$\text{A.}$ $f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)>f(1)-f(0)$
$\text{B.}$ $f(1)-f(0)>f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1)>f(1)-f(0)>f^{\prime}(0)$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(1)>f(0)-f(1)>f^{\prime}(0)$
函数 $f(x)=x e^x$ 的带有皮亚诺型余项的 $n$ 阶麦克劳林公式为 ( ).
$\text{A.}$ $x e^x=x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o\left(x^n\right)$
$\text{B.}$ $x e^x=x+x^2+\frac{x^3}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{(n-1)!}+o\left(x^n\right)$
$\text{C.}$ $x e^x=x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)$
$\text{D.}$ $x e^x=x+x^2+\frac{x^3}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n-1}+o\left(x^n\right)$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{\cos x}^1 e^{-t^2} d t}{x^2}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{e}$
$\text{B.}$ $\infty$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2 e}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2 e}$
下列反常积分收敛的是 ( ).
$\text{A.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} d x$
$\text{B.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} d x$
$\text{C.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \sin x d x$
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{d x}{\sqrt{x}}$
一物体按规律 $s=t^2$ 做直线运动, 介质的阻力 $F$ 与速度 $v$ 的平方成正比 $\left(F=k v^2, k\right.$ 是比例常数), 则物体从 $s=0$ 移到 $s=a$ 克服介质阻力所作的功为 ( ).
$\text{A.}$ $\int_0^{\sqrt{a}} 8 k t^3 d t$
$\text{B.}$ $\int_0^a 8 k t^3 d t$
$\text{C.}$ $\int_0^{\sqrt{a}} k v^2 d t$
$\text{D.}$ $\int_0^a k v^2 d t$
设线性无关函数 $y_1, y_2, y_3$ 都是二阶非齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f(x)$ 的解, $C_1, C_2$ 是任意常数, 则对应齐次方程 $y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0$ 的通解是 ( ).
$\text{A.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2$
$\text{B.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-2 y_3$
$\text{C.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(C_1+C_2\right) y_3$
$\text{D.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+\left(1-C_1-C_2\right) y_3$
设函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内有二阶导数, 满足 $f(0)=0, f^{\prime \prime}(x) < 0$, 又 $0 < a < b$, 则当 $a < x < b$ 时，恒有（）
$\text{A.}$ $a f(x)>x f(a)$
$\text{B.}$ $x f(x)>a f(a)$
$\text{C.}$ $x f(x)>b f(b)$
$\text{D.}$ $b f(x)>x f(b)$
已知 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(1)=1, f^{\prime}(1)=-1$, 则函数 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 内( )
$\text{A.}$ 有极值点，无零点
$\text{B.}$ 无极值点, 有零点
$\text{C.}$ 有极值点, 有零点
$\text{D.}$ 无极值点, 无零点
设 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$, 则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 f\left( e ^{x^2}\right)}-\sqrt{1+f\left(1+\sin ^2 x\right)}}{\ln \cos x}$ 为
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $-a$
$\text{C.}$ $3 a$
$\text{D.}$ $-3 a$
设二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+y=0$ 的每一个解 $y(x)$ 都在区间 $(0,+\infty)$ 上有界, 则实数 $b$ 的取值范围是( )
$\text{A.}$ $[0,+\infty)$
$\text{B.}$ $(-\infty, 0)$
$\text{C.}$ $(-\infty, 4)$
$\text{D.}$ $(-\infty,+\infty)$
设 $f(x)$ 是连续的偶函数，且 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期，则 $g(x)=\int_0^x \sin (x-t) f(t) d t$ 必是 $($ ）
$\text{A.}$ 奇函数
$\text{B.}$ 偶函数
$\text{C.}$ 以 $\pi$ 为周期的奇函数
$\text{D.}$ 以 $2 \pi$ 为周期的偶函数
一个容器的内侧是由曲线 $x^2+y^2=a^2\left(y \leq \frac{a}{2}, a>0\right)$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面, 其中长度单位为 $m$ ，重力加速度为 $g\left(m / s^2\right)$ ，水的密度为 $\rho\left( kg / m ^3\right)$ ，若将容器内盛满的水从容器中全部抽出至少需要做的功为（）
$\text{A.}$ $\frac{45}{64} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{B.}$ $\frac{45}{32} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{C.}$ $\frac{45}{16} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{D.}$ $\frac{45}{8} \rho g \pi a^4(J)$
若 $u(x, y)$ 的二阶偏导数存在且 $u \neq 0$ ，则条件 $u \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}$ 是 $u(x, y)=f(x) g(y)$ 的
$\text{A.}$ 充分非必要条件
$\text{B.}$ 充要条件
$\text{C.}$ 既非充分也非必要条件
$\text{D.}$ 必要非充分条件
设实矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 满足 $a_{i j}=A_{i j}(i, j=1,2,3)$ 且 $a_{33}=-1$, 则下列命题正确的是( )
(1)矩阵 $A$ 是实对称矩阵.
(2)矩阵 $A$ 是正交矩阵.
(3)矩阵 $A$ 与三阶单位矩阵等价.
(4)矩阵 $A$ 与三阶单位矩阵合同.
(5)矩阵 $A$ 与三阶单位矩阵相似.
$\text{A.}$ (2)(3)(5)
$\text{B.}$ (1)(2)(3)
$\text{C.}$ (1)(3)(4)
$\text{D.}$ (1)(3)(4)(5)
已知三维向量组 $\alpha_1=(-1,2,6)^T, \alpha_2=(2,1,4)^T, \beta_1=(4,-3,2)^T, \beta_2=(-1,-8,4)^T$, 则既可以由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示,也可以由 $\beta_1, \beta_2$ 线性表示的非零向量是
$\text{A.}$ $(13,-1,2)^T$
$\text{B.}$ $(-3,5,-3)^T$
$\text{C.}$ $(3,-11,6)^T$
$\text{D.}$ $(1,3,10)^T$
三阶矩阵 $A=\alpha \alpha^T+4 \beta \beta^T$, 正交矩阵 $Q=(\alpha, \gamma, \beta)$, 则 $x^T\left[(A+E)^*-5 E\right] x$ 在 $x^T x=5$ 下的最大值是
$\text{A.}$ 25
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ -15
设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1, \beta _2$ 都是 4 维列向量, 且 4 阶行列式 $\left| \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1\right|=m,\left| \alpha _1, \alpha _2, \beta _2, \alpha _3\right|=n$, 则 4 阶行列式 $\left| \alpha _3, \alpha _2, \alpha _1, \beta _1+ \beta _2\right|$ 等于
$\text{A.}$ $m+n$
$\text{B.}$ $-(m+n)$
$\text{C.}$ $n-m$
$\text{D.}$ $m-n$
设 $D=\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|, A_{i j}$ 为 $D$ 的 $(i, j)$ 元的代数余子式, 则 $A_{31}+2 A_{32}+3 A_{33}=$
$\text{A.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$
$\text{B.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right|$
$\text{C.}$ $\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & 2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
$\text{D.}$ $\left|\begin{array}{llc}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & -2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵， $E$ 为 $m$ 阶单位矩阵，则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $A ^{\top} A$ 是对称矩阵
$\text{B.}$ $A A ^{ T }$ 是对称矩阵
$\text{C.}$ $A ^{ T } A + A A ^{ T }$ 是对称矩阵
$\text{D.}$ $E + A A ^{ T }$ 是对称矩阵
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆方阵, $k$ 为非零常数,则有 ( ).
$\text{A.}$ $(k A )^{-1}=k A ^{-1}$
$\text{B.}$ $(k A )^{ T }=k A ^{ T }$
$\text{C.}$ $|k A |=k| A |$
$\text{D.}$ $(k A )^*=k A ^*$
设 $A$ 为可逆矩阵, 则 $\left[\left( A ^{-1}\right)^{ T }\right]^{-1}=$.
$\text{A.}$ $A$
$\text{B.}$ $A ^{ T }$
$\text{C.}$ $A ^{-1}$
$\text{D.}$ $\left( A ^{-1}\right)^{ T }$
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵, 且 $| A |=1$, 则 $\left( A ^*\right)^*=(\quad)$.
$\text{A.}$ $A ^{-1}$
$\text{B.}$ $- A$
$\text{C.}$ $A$
$\text{D.}$ $A ^2$
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2[1+f(x)]}{x-\sin x}=6$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的法线方程为 ( )
$\text{A.}$ $y=-x-1$
$\text{B.}$ $y=x-1$
$\text{C.}$ $y=-x+1$
$\text{D.}$ $y=x+1$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{[x] \sin \frac{1}{x},} & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $[x]$ 表示对 $x$ 取整, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的 ( )
$\text{A.}$ 振荡间断点, 且为极值点
$\text{B.}$ 第一类间断点, 且不为极值点
$\text{C.}$ 振荡间断点, 且不为极值点
$\text{D.}$ 无穷间断点, 且为极值点
方程 $\frac{1}{x-a_1}+\frac{1}{x-a_2}+\cdots+\frac{1}{x-a_n}=0\left(a_1 < a_2 < \cdots < a_n\right)$ 的实根个数为 ( )
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $n-1$
$\text{D.}$ $n$
设函数 $y(x)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+k y=0(0 < k < 1)$, 则以下选项中必定收敛的是 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} y(x) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^{-\infty} y(x) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} x^2 y(x) d x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} x^{-2} y(x) d x$