单选题 （共 40 题 ），每题只有一个选项正确
设 $X_1, \cdots, X_n$ 是简单随机样本, 来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\mu, \sigma$ 是未知参数, 则以下是统计量的是（）。
$\text{A.}$ $X_1+X_2+\cdots+X_n-n^2 E(\bar{X})$
$\text{B.}$ $X_1+X_2+\cdots+X_n-n \mu$
$\text{C.}$ $\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n \sqrt{S^2}}$
$\text{D.}$ $\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n \sigma}$
设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, 简单样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自该总体, $\bar{X}, S^2$ 分别是样本均值和样本方差，则以下不能作为未知参数 $\lambda$ 的矩估计量的是
$\text{A.}$ $\bar{X}$
$\text{B.}$ $S^2$
$\text{C.}$ $S$
$\text{D.}$ $\frac{-1+\sqrt{1+\frac{4}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}}{2}$
设简单样本 $X_1, \cdots, X_n$ 来自标准正态分布, $\bar{X}, S^2$ 分别是样本均值和样本方差, 则以下选项正确的是（）。
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $\bar{X}^2$ 服从卡方分布
$\text{C.}$ $S^2$ 服从卡方分布
$\text{D.}$ $\frac{n \bar{X}^2}{S^2}$ 服从 $F$ 分布
设 $f(x)$ 是连续型随机变量 $X$ 的概率密度, $F(x)$ 为其分布函数, 则
$\text{A.}$ $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$
$\text{B.}$ $P\{X=x\} \leqslant F(x)$
$\text{C.}$ $P\{X=x\}=F^{\prime}(x)$
$\text{D.}$ $P\{X=x\}=f(x)$
设 $F(x)$ 是随机变量 $X$ 的分布函数, 则下列函数中一定不是分布函数的是( ).
$\text{A.}$ $F^2(x)$
$\text{B.}$ $F^3(x)$
$\text{C.}$ $F(2 x)$
$\text{D.}$ $2 F(x)$
下列函数中, 可以作为连续型随机变量概率密度的是 ( ).
$\text{A.}$ $f_1(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 \leqslant x < \frac{\pi}{2}, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{B.}$ $f_2(x)= \begin{cases}\sin x, & -\frac{\pi}{2} \leqslant x < 0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{C.}$ $f_3(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 \leqslant x < \pi, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{D.}$ $f_4(x)= \begin{cases}1-\sin x, & 0 \leqslant x < \frac{\pi}{2}, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)= \begin{cases}0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & 0 \leqslant x < 1 \text {, 则 } P\{X=1\}=(\quad) . \\ 1- e ^{-x}, & x \geqslant 1,\end{cases}$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}- e ^{-1}$
$\text{D.}$ $1- e ^{-1}$
已知离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P\{X=k\}=p^{k+1}(k=0,1)$, 则 $p=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
设 $f_1(x)$ 为标准正态分布的概率密度, $f_2(x)$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布的概率密度, 若
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
a f_1(x), & x \leqslant 0, \\
b f_2(x), & x>0
\end{array},(a>0, b>0)\right.
$$
为概率密度, 则 $a, b$ 应满足
$\text{A.}$ $2 a+3 b=4$
$\text{B.}$ $3 a+2 b=4$
$\text{C.}$ $a+b=1$
$\text{D.}$ $a+b=2$
已知二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数为 $F(x, y)=A\left(B+\arctan \frac{x}{2}\right)\left(C+\arctan \frac{y}{3}\right)$, 则
$\text{A.}$ $A=\frac{1}{\pi^2}, B=\frac{\pi}{4}, C=\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $A=\frac{1}{\pi^2}, B=C=\frac{\pi}{2}$
$\text{C.}$ $A=1, B=\frac{\pi}{4}, C=\frac{\pi}{6}$
$\text{D.}$ $A=1, B=C=\frac{\pi}{2}$
设 $A, B$ 为任意两个事件, 若 $P(B)>0$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $P(A \mid A \cup B)=P(A \mid B)$.
$\text{B.}$ $P(A \mid A \cup B) < P(A \mid B)$.
$\text{C.}$ $P(A \mid A \cup B)>P(A \mid B)$.
$\text{D.}$ $P(A \mid A \cup B) \geqslant P(A \mid B)$.
设 $X$ 为非负连续型随机变量, 其 $k(k=1,2, \cdots)$ 阶矩存在概率密度记为 $f(x)$, 分布函数记为 $F(x)$,则 $\int_0^{+\infty}[1-F(x)] d x=$
$\text{A.}$ $E X$.
$\text{B.}$ $E\left(X^2\right)$.
$\text{C.}$ $D X$.
$\text{D.}$ 1.
设 $\bar{X}_n$ 和 $S_n^2$ 分别是样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的样本均值及样本方差. 若添加一次试验, 则样本扩展为 $X_1$, $X_2, \cdots, X_n, X_{n+1}$, 其样本方差为 $S_{n+1}^2$. 当 $S_{n+1}^2=a S_n^2+\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_{n+1}-b\right)^2}{n(n+1)}$ 成立时, 有
$\text{A.}$ $a=\frac{n-1}{n}, b=\bar{X}_n$.
$\text{B.}$ $a=\frac{n}{n+1}, b=\bar{X}$.
$\text{C.}$ $a=\frac{n-1}{n}, b=X_i$.
$\text{D.}$ $a=\frac{n}{n+1}, b=X_i$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本, $\mu$ 是未知参数, $X$ 是样本均值，则下列各式是统计量的为（）。
$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$
$\text{B.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
$\text{C.}$ $\bar{X}-\mu$
$\text{D.}$ $(\bar{X}-\mu)^2+\sigma^2$
设 $X \sim N(0,1), X_1, X_2, \cdots, X_7$ 是来自总体 $X$ 的样本, $\frac{c \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{X_5^2+X_5^2+X_7^2}}(c>0)$ 服从 $t(n)$ 分布,则 $(c, n)$ 为
$\text{A.}$ $(\sqrt{3}, 3)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 3\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 4\right)$
$\text{D.}$ $(\sqrt{3}, 2)$
设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的一个简单随机样本, 则参数 $\lambda$ 的矩估计量为 ( )。
$\text{A.}$ $\frac{1}{2 \bar{X}}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{\bar{X}}$
$\text{C.}$ $\bar{X}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \bar{X}$
设随机变量 $X$ 的分布函数与概率密度分别为 $F(x), f(x)$, 且对于任意实数 $x, F(x) \neq 1$, 则下列反常积分中，发散的是（）
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{\sqrt{1+F^2(x)}} d x$.
$\text{B.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{\sqrt{1-F^2(x)}} d x$.
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{1+F^2(x)} d x$.
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{1-F^2(x)} d x$.
设随机变量 $X, Y$ 独立同分布, $P\{X=0\}=p, P\{X=1\}=1-p=q, 0 < p < 1$. 令 $Z=$ $\begin{cases}1, X+Y \text { 为偶数, } \\ 0, & X+Y \text { 为奇数. }\end{cases}$
$\text{A.}$ 若 $X, Z$ 不独立, 则 $p_0 < p_1$.
$\text{B.}$ 若 $X, Z$ 不独立, 则 $p_0=p_1$.
$\text{C.}$ 若 $X, Z$ 不独立, 则 $p_0>p_1$.
$\text{D.}$ $X, Z$ 是否独立与 $p_0, p_1$ 的大小关系无关.
设随机变量 $X$ 满足 $E(X)=E\left(X^3\right)=0, E\left(X^2\right)=1, D\left(X^2\right)=2$, 则根据切比雪夫不等式, $P\left\{\left|X^2+2 X-1\right| \geqslant 5\right\} \leqslant(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{3}{25}$.
$\text{B.}$ $\frac{4}{25}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{5}$.
$\text{D.}$ $\frac{6}{25}$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}
1,|y| < x, 0 < x < 1, \\
0, \quad \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
则 $P\left\{Y>0 \left\lvert\, X=\frac{1}{2}\right.\right\}=1$,
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从正态分布, $X \sim N\left(\mu, 4^2\right), Y \sim N\left(\mu, 5^2\right)$, 而 $p_1=P(X \leq \mu-4)$, $p_2=P(Y \geq \mu+5)$, 则
$\text{A.}$ $p_1=p_2$
$\text{B.}$ $p_1 < p_2$
$\text{C.}$ $p_1>p_2$
$\text{D.}$ 当 $\mu=0$, 才有 $p_1=p_2$
设 $X, Y$ 是 0-1 分布的随机变量, 已知 $P(X=0, Y=0)=P(X=0, Y=1)=1 / 3$, 若 $X$ 与 $Y$ 不相关, 则 $P(X=1, Y=0)=$
$\text{A.}$ $1 / 6$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $1 / 9$
$\text{D.}$ $1 / 3$
设 $(X, Y) \sim N(0,1,1,1,0.5), U=X+Y, V=X-Y$, 若已知 $(U, V)$ 是二维正态分布, 则下面错误的是
$\text{A.}$ $X$ 与 $Y$ 相关
$\text{B.}$ $U$ 与 $V$ 不相关
$\text{C.}$ $U$ 与 $V$ 不独立
$\text{D.}$ $V$ 与 $X$ 线性相关
设 $X_1, X_2, X_3$ 为总体 $X$ 一个样本, 则总体均值的 4 个无偏差估计: $\hat{\mu}=X_1, \hat{\mu}_2=\left(X_1+X_2\right) / 2$, $\hat{\mu}_3=\left(X_1+X_2+X_3\right) / 3, \hat{\mu}_4=0.7 X_2+0.3 X_3$ 中最有效的估计是
$\text{A.}$ $\hat{\mu}_1$
$\text{B.}$ $\hat{\mu}_2$
$\text{C.}$ $\hat{\mu}_3$
$\text{D.}$ $\hat{\mu}_4$
从总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 中取样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$, 均值为 $\bar{X}$, 下面错误的是
$\text{A.}$ $\frac{n \bar{X}-n \mu}{\sigma \sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{C.}$ $\frac{X_n-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{D.}$ $\frac{X_1-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$
设 $X_1, \cdots, X_n(n>1)$ 为总体 $X \sim N(0,1)$ 的样本, $\bar{X}$ 为样本均值, 则错误的是
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$
$\text{B.}$ $\frac{\bar{X}}{\sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{C.}$ $\sum_{l=1}^n X_I^2 \sim \chi^2(n)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 \sim \chi^2(1)$
设 $\theta$ 是总体 $X$ 的参数, $(\underline{\theta}, \bar{\theta})$ 为 $\theta$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的随机区间, 则
$\text{A.}$ $\theta$ 以 $1-\alpha$ 的概率落入 $(\underline{\theta}, \bar{\theta})$
$\text{B.}$ $\theta$ 以 $\alpha$ 的概率落在 $(\underline{\theta}, \bar{\theta})$ 之外
$\text{C.}$ $(\underline{\theta}, \bar{\theta})$ 以概率 $1-\alpha$ 包含 $\theta$
$\text{D.}$ $(\underline{\theta}, \bar{\theta})$ 以概率 $\alpha$ 包含 $\theta$
总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体的一个样本, 对 $\mu$ 进行假设检验: $H_0: \mu=\mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0$, 则
$\text{A.}$ 若在显著水平 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$, 则在显著水平 $\alpha=0.01$ 下必接受 $H_0$
$\text{B.}$ 若在显著水平 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$, 则在显著水平 $\alpha=0.01$ 下必拒绝 $H_0$
$\text{C.}$ 若在显著水平 $\alpha=0.01$ 下接受 $H_0$, 则在显著水平下 $\alpha=0.05$ 必接受 $H_0$
$\text{D.}$ 若在显著水平 $\alpha=0.01$ 下接受 $H_0$, 则在显著水平下 $\alpha=0.05$ 必拒绝 $H_0$
设 $A, B$ 为两随机事件, 若 $P(\bar{A})=0.4, P(B \mid A)=0.5, P(A \mid B)=0.6$, 则 ( )
$\text{A.}$ 事件 $A, B$ 独立, 且 $P(A-B)=0.1$
$\text{B.}$ 事件 $A, B$ 独立, 且 $P(A-B)=0.3$
$\text{C.}$ 事件 $A, B$ 不独立, 且 $P(A-B)=0.5$
$\text{D.}$ 事件 $A, B$ 不独立, 且 $P(A-B)=0.3$
设随机变量 $X \sim E(\lambda)$, 且 $X$ 的数学期望 $E(X)=\frac{1}{2}, Y$ 表示对 $X$ 的三次独立观察中事件 " $X>1$ " 出现的次数, 则概率 $P\{Y \geq 1\}=$ ( ).
$\text{A.}$ $1-\left(1-e^{-2}\right)^3$
$\text{B.}$ $1-\left(1-e^{-\frac{1}{2}}\right)^3$
$\text{C.}$ $1-3 e^{-2}\left(1-e^{-2}\right)^2$
$\text{D.}$ $3 e^{-4}\left(1-e^{-2}\right)$
设随机变量 $X \sim N\left(2,3^2\right)$, 则 $D(2 X+3)=$
$\text{A.}$ 9.
$\text{B.}$ 18.
$\text{C.}$ 21 .
$\text{D.}$ 36.
$X \sim N(0,4)$, 则 $P(X < 1)=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $\int_0^1 \frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{8}} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \frac{1}{4} e^{-\frac{x^2}{4}} d x$
$\text{C.}$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}}$
$\text{D.}$ $\int_{-\infty}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} d x$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 是相互独立的随机变量序列，$X_n$ 服从参数为 $n(n \geqslant 1)$ 的指数分布，则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是
$\text{A.}$ $X_1, \frac{1}{2} X_2, \cdots, \frac{1}{n} X_n, \cdots$
$\text{B.}$ $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$
$\text{C.}$ $X_1, 2 X_2, \cdots, n X_n, \cdots$
$\text{D.}$ $X_1, 2^2 X_2, \cdots, n^2 X_n, \cdots$
设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 独立同分布，且 $X_1$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}1-|x|, & |x| < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
则当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 依概率收敛于（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{1}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立，$S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$ ，则根据列维 - 林德伯格定理，当 $n$ 充分大时，$S_n$ 近似服从正态分布，只要 $X_1, X_2, \cdots, X_n()$ ．
$\text{A.}$ 有相同的期望和方差
$\text{B.}$ 服从同一离散型分布
$\text{C.}$ 服从同一指数分布
$\text{D.}$ 服从同一连续型分布
设 $A, B$ 为两个随机事件，则（ ）。
$\text{A.}$ $P(A B)+P(\bar{A} \bar{B}) \leqslant 1$
$\text{B.}$ $P(A B)+P(\bar{A} \bar{B}) \geqslant 1$
$\text{C.}$ $P(A-B) \leqslant P(A)-P(B)$
$\text{D.}$ $P(A \cup B)+P(\bar{A} \cup \bar{B}) \leqslant 1$
设随机事件 $A, B$ 满足 $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$ 和 $P(A \cup B)=1$ ，则有 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $A \cup B=\Omega$
$\text{B.}$ $A B=\varnothing$
$\text{C.}$ $P(\bar{A} \cup \bar{B})=1$
$\text{D.}$ $P(A-B)=0$
设随机事件 $A, B$ 满足 $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$ 和 $P(A \cup B)=1$ ，则有 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $A \cup B=\Omega$
$\text{B.}$ $A B=\varnothing$
$\text{C.}$ $P(\bar{A} \cup \bar{B})=1$
$\text{D.}$ $P(A-B)=0$
某人向同一目标独立重复射击，每次命中目标的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，则此人第 4 次射击恰好第二次命中目标的概率为（）。
$\text{A.}$ $3 p(1-p)^2$
$\text{B.}$ $6 p(1-p)^2$
$\text{C.}$ $3 p^2(1-p)^2$
$\text{D.}$ $6 p^2(1-p)^2$
二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布为
若随机事件 $\{X=0\}$ 与 $\{X+Y=1\}$ 相互独立，则（ ）．
$\text{A.}$ $a=0.2, b=0.3$
$\text{B.}$ $a=0.1, b=0.4$
$\text{C.}$ $a=0.3, b=0.2$
$\text{D.}$ $a=0.4, b=0.1$